P-Laplacien

En mathématiques, le p-Laplacien, ou l'opérateur de p-Laplace, est un opérateur différentiel partiel elliptique quasi-linéaire du second ordre. C'est une généralisation non linéaire de l'opérateur laplacien, où p, usuellement fixé à 2, est autorisé à s'étendre sur . Il s'écrit comme où le est défini par : Dans le cas particulier où , cet opérateur se réduit au laplacien classique. En général, les solutions d'équations impliquant le p-Laplacien n'ont pas de dérivées du second ordre au sens classique, donc les solutions à ces équations doivent être comprises comme des solutions faibles. Par exemple, on dit qu'une fonction u appartenant à l'espace de Sobolev est une solution faible de si pour chaque fonction test on a où désigne le produit scalaire standard. L'opérateur p-laplacien pour une fonction u définie sur un espace de dimension n s'écrit : Les solutions sont appelées fonctions p-harmoniques. p = 1 L'opérateur 1-laplacien est l'opposé de l'opérateur de courbure moyenne : p = 2 L'opérateur 2-laplacien est le laplacien classique : p = n L'opérateur n-laplacien est un cas particulier, car il est invariant par toute transformation de Möbius. En effet, la norme est invariant par toute transformation conforme. Ce cas est important dans l'étude des transformations quasi conformes. p infini L'équation de ∞-Laplace se réduit à: ou Hu désigne la matrice hessienne de u. Cette équation a des applications en . La solution faible de l'équation de p-Laplace avec une condition aux limites de Dirichlet dans un domaine est celle qui minimise la fonctionnelle énergie parmi toutes les fonctions de l'espace de Sobolev satisfaisant les conditions aux limites au sens de la trace. Dans le cas particulier et est une boule de rayon 1, la solution faible du problème ci-dessus peut être explicitement calculée et est donnée par où est une constante appropriée dépendant uniquement de la dimension et de . On remarque que pour la solution n'est pas deux fois dérivable au sens classique. Juan Manfredi, Strong comparison Principle for p-harm