Densité asymptotique

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, la densité asymptotique (ou densité naturelle, ou densité arithmétique) est une façon de mesurer la « taille » de certains sous-ensembles d'entiers naturels. La densité d'un ensemble peut être vue comme une approximation de la probabilité qu'un entier tiré au hasard dans un intervalle arbitrairement grand appartienne à ; son étude fait partie de la théorie analytique des nombres. Il n'existe pas de probabilité uniforme sur l'ensemble des entiers naturels, car si chaque singleton avait la même probabilité , d'après l'axiome d'additivité, l'ensemble aurait une probabilité infinie si , et nulle si . On montre même qu'il n'existe pas de probabilité sur vérifiant la propriété évidente intuitivement que la "probabilité" de l'ensemble des multiples d'un entier strictement positif soit égale à (ou qu'il y ait une chance sur qu'un entier soit multiple de ) . Par contre, il existe une probabilité uniforme sur tous les ensembles , ce qui motive les définitions suivantes. Un ensemble d'entiers naturels est de densité asymptotique (où ) si la proportion des éléments de parmi les entiers de 1 à n se rapproche asymptotiquement de quand n tend vers l'infini. Formellement, notant le nombre d'éléments de entre 1 et n, la densité asymptotique de , , est définie par (si cette limite existe). Si est fini, est de densité nulle. Si est infini, soit la suite strictement croissante de ses éléments non nuls. Alors : est de densité nulle si et seulement si est de densité si et seulement si . Avec les mêmes notations, on définit la densité supérieure asymptotique (ou simplement la densité supérieure) de , , par où lim sup est la limite supérieure. De même, la densité inférieure de , , est définie par où lim inf est la limite inférieure. a une densité asymptotique si et seulement si les densités inférieure et supérieure coïncident, et alors . La densité asymptotique ne vérifie pas la propriété d'additivité dénombrable, mais elle vérifie celle d’additivité finie.