Équations de Boussinesq

thumb|right|250px|Ondes de gravité à l'entrée d'un port (milieu à profondeur variable). Les équations de Boussinesq en mécanique des fluides désignent un système d'équations d'ondes obtenu par approximation des équations d'Euler pour des écoulements incompressibles irrotationnels à surface libre. Elles permettent de prévoir les ondes de gravité comme ondes cnoïdales, ondes de Stokes, houle, tsunamis, solitons, etc. Ces équations ont été introduites par Joseph Boussinesq en 1872 et sont un exemple d'équations aux dérivées partielles dispersives. Pour un écoulement incompressible irrotationnel la vitesse dérive d'un potentiel ψ. Les équations d'incompressibilité et de quantité de mouvement s'écrivent où ρ est la masse volumique, p la pression, g la gravité et z l'altitude. L'équation de quantité de mouvement contient des cas particuliers intéressants : milieu homogène ψ = 0 conduit à l'équilibre hydrostatique, milieu stationnaire conduit à l'équation de Bernoulli. Par la suite on supposera la vitesse assez faible pour négliger l'énergie cinétique. On obtient ainsi l'expression de la pression Examinons un problème bidimensionnel. On désigne par s(x) l'altitude de la surface par rapport à sa valeur au repos z = 0. Outre l'équation de continuité on peut écrire une seconde équation à la surface en dérivant la pression. Compte tenu d'une approximation de faible amplitude de l'onde, cette relation est appliquée en z = 0. Elle constitue une condition aux limites dynamique. À ce système il faut adjoindre une condition aux limites au fond si celui-ci existe ou lorsque sinon. La solution est cherchée sous forme d'ondes d'amplitude A en surface de pulsation ω et de nombre d'onde k On examine ci-après deux cas particuliers qui éclairent le problème. La solution de l'équation de Laplace est ici une exponentielle décroissante l'équation en z = 0 donne la relation de dispersion La vitesse de phase est le double de la vitesse de groupe : le milieu est dispersif. En intégrant une première fois ψ on obtient les composantes verticale et horizontale de la vitesse.