Application transposée

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire entre deux espaces vectoriels est l'application entre leurs duals définie par : ou encore, si est le crochet de dualité de : La forme linéaire résultante est nommée application transposée de le long de . Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encore un module à droite sur l'anneau opposé K. L'application u ainsi associée à u est, comme elle, linéaire. L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaire, de L(E, F) dans L(F*, E*). ker(u) = ( u) (donc u est injective si et seulement si u est surjective) et im(u) = (ker u) (donc u est surjective si et seulement si u est injective). L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G,(Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.) Pour toutes parties A de E et B de F, on a [u(A)] = (u)(A), et u(A) ⊂ B ⇒ u(B) ⊂ A. Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif, de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C :En effet, si B = (e, ..., e) et C = (f, ..., f), l'élément d'indices i,k de la matrice mat(u) est 〈u(f*), e〉 et l'élément d'indices k,i de la matrice mat(u) est 〈f*, u(e)〉. Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule (AB) = B.A. La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application entre deux ensembles : On en déduit pour tout ensemble une application : définie par où désigne l'ensemble des applications de dans .