Lemme de Schwarz

Le lemme de Schwarz est un lemme d'analyse complexe, donnant des contraintes sur les fonctions holomorphes du disque unité dans lui-même. Il ne faut pas le confondre avec un autre résultat d'analyse complexe, le . Soit une fonction holomorphe dans le disque ouvert D de centre 0 et de rayon 1, et telle que : Alors on a : pour tout appartenant à D et .Si, de plus, il existe un élément non nul de D vérifiant , ou bien si , alors il existe un nombre complexe de module 1 tel que pour tout appartenant à . La preuve est une application directe du principe du maximum. Appliquons le principe du maximum à la fonction holomorphe sur D (l'holomorphie en 0 provient du fait que f(0) = 0 et du fait que f est développable en série entière). Pour tout r < 1, si = {z : |z| ≤ r} désigne le disque fermé de rayon r > 0 centré en l'origine, la fonction |g| sur atteint son maximum en un point du bord de . Étant donné z appartenant à D, il existe donc, pour tout r ∈ ]|z|, 1[, un complexe zr de module r tel que Lorsque , on obtient . Supposons maintenant que |f(z0)| = |z0| pour z0 non nul dans D, ou supposons que |f′(0)| = 1. Alors, |g(z0)| = 1 ou |g(0)| = 1 par définition de g. Ainsi, par le principe du maximum, g(z) est égale à une constante a avec |a| = 1. Finalement, f(z) = az, comme voulu. Une variante du lemme de Schwarz est le lemme de Schwarz-Pick, nommé en l'honneur de Georg Pick, permettant de déterminer les automorphismes analytiques du disque unité : La preuve du lemme de Schwarz-Pick est une conséquence du lemme de Schwarz et du fait qu'une transformation de Möbius de la forme envoie le disque unité dans lui-même. Fixons z1 et posons où M et φ sont des transformations de Möbius. Puisque M(z1) = 0 et que la transformation de Möbius est inversible, la composée φ(f(M−1(z))) envoie 0 sur 0 et le disque unité dans lui-même. Ainsi, on peut appliquer le lemme de Schwarz, ce qui nous donne Maintenant, en posant z2 = M−1(z) (qui appartient au disque unité), on arrive à l'inégalité voulue : Afin de prouver la seconde partie, divisons par |z1 – z2| l'inégalité obtenue En faisant tendre z2 vers z1, on obtient la seconde inégalité du lemme.