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Concentric bubbles concentrating in finite time for the energy critical Wave Maps equation

2025

Résumé

We show that the energy critical Wave Maps equation from R 2+1 to S 2 and restricted to the co-rotational setting with co-rotation index k = 2 admits finite time blow up solutions of finite energy on (0, t 0] x R 2 , t 0 > 0, and concentrating two concentric bubble profiles at the frequency scales λ 1 (t) = e α(t) , α(t) ~ |log t|β+1 , as well as λ 2(t) = t-1 · |log t|β. The parameter β > 3/2 can be chosen arbitrarily. This shows that soliton resolution scenarios with finite time blow up and N = 2 collapsing profiles, i. e. bubble trees, do occur for this equation.

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Concepts associés (31)

Méthode des différences finies

En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres. Cette méthode apparaît comme étant la plus simple à mettre en œuvre car elle procède en deux étapes : d'une part la discrétisation par différences finies des opérateurs de dérivation/différentiation, d'autre part la convergence du schéma numérique ainsi obtenu lorsque la distance entre les points diminue.

Automate fini déterministe

Un automate fini déterministe, parfois abrégé en AFD (en anglais deterministic finite automaton, abrégé en DFA) est un automate fini dont les transitions à partir de chaque état sont déterminées de façon unique par le symbole d'entrée. Un tel automate se distingue ainsi d'un automate fini non déterministe, où au contraire plusieurs possibilités de transitions peuvent exister simultanément pour un état et un symbole d'entrée donné.

Équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger, conçue par le physicien autrichien Erwin Schrödinger en 1925, est une équation fondamentale en mécanique quantique. Elle décrit l'évolution dans le temps d'une particule massive non relativiste, et remplit ainsi le même rôle que la relation fondamentale de la dynamique en mécanique classique. Au début du , il était devenu clair que la lumière présentait une dualité onde-corpuscule, c'est-à-dire qu'elle pouvait se manifester, selon les circonstances, soit comme une particule, le photon, soit comme une onde électromagnétique.

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