Order theoryOrder theory is a branch of mathematics that investigates the intuitive notion of order using binary relations. It provides a formal framework for describing statements such as "this is less than that" or "this precedes that". This article introduces the field and provides basic definitions. A list of order-theoretic terms can be found in the order theory glossary. Orders are everywhere in mathematics and related fields like computer science. The first order often discussed in primary school is the standard order on the natural numbers e.
Ordre lexicographiqueEn mathématiques, un ordre lexicographique est un ordre que l'on définit sur les suites finies d'éléments d'un ensemble ordonné (ou, de façon équivalente, les mots construits sur un ensemble ordonné). Sa définition est une généralisation de l'ordre du dictionnaire : l'ensemble ordonné est l'alphabet, les mots sont bien des suites finies de lettres de l'alphabet. La principale propriété de l'ordre lexicographique est de conserver la totalité de l'ordre initial.
Ordre totalEn mathématiques, on appelle relation d'ordre total sur un ensemble E toute relation d'ordre ≤ pour laquelle deux éléments de E sont toujours comparables, c'est-à-dire que On dit alors que E est totalement ordonné par ≤. Une relation binaire ≤ sur un ensemble E est un ordre total si (pour tous éléments x, y et z de E) : x ≤ x (réflexivité) ; si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y (antisymétrie) ; si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z (transitivité) ; x ≤ y ou y ≤ x (totalité). Les trois premières propriétés sont celles faisant de ≤ une relation d'ordre.
Tenseur antisymétriqueEn mathématiques et physique théorique, un tenseur est antisymétrique pour les indices i et j si son signe est interchangé lorsqu'on inverse 2 indices : Un tenseur antisymétrique est un tenseur possédant 2 indices pour lesquels il est antisymétrique. Si un tenseur change de signe dès que 2 indices quelconques sont inversés, alors ce tenseur est dit complètement antisymétrique et est aussi nommé forme différentielle. Un tenseur A qui est antisymétrique pour les indices i et j possède la propriété que sa contraction avec un tenseur B, symétrique pour les indices i et j, est identiquement nulle.
Tenseur symétriqueUn tenseur d'ordre 2 est dit symétrique si la forme bilinéaire associée est symétrique. Un tenseur d'ordre 2 étant défini par rapport à un certain espace vectoriel, on peut y choisir des vecteurs de base et le tenseur est alors représenté par une matrice de composantes . Une définition équivalente à la précédente consiste à dire que la matrice est symétrique, c'est-à-dire que : pour tout couple d'indices i et j, car cette propriété reste inchangée si l'on change de base.
Ordre des motsEn syntaxe, l’ordre des mots se réfère premièrement à la succession de ces unités dans le syntagme et des syntagmes dans la phrase simple, ainsi que dans la proposition faisant partie d’une phrase complexe. Dans un sens plus large, il concerne aussi l’ordre des propositions dans la phrase complexe. Certains auteurs mentionnent que, s’agissant de mots à fonction syntaxique, la question de leur ordre regarde non seulement la façon dont ils se succèdent, mais aussi la position plus ou moins éloignée des uns par rapport aux autres, l’ordre des mots ayant par conséquent une composante succession et une composante proximité/éloignement.
Symbole de Levi-CivitaEn mathématiques, le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un objet antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker : Ainsi, ne peut prendre que trois valeurs : –1, 0 ou 1. En dimension 3, on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit : On remarque que si , et , alors représente une permutation et le symbole de Levi-Civita correspondant est sa signature.
Tenseur électromagnétiqueLe tenseur électromagnétique, ou tenseur de Maxwell est le nom de l'objet mathématique décrivant la structure du champ électromagnétique en un point donné. Le tenseur électromagnétique est aussi connu comme : le tenseur d'intensité du champ électromagnétique ; le tenseur du champ magnétique ; le tenseur de Maxwell ; le tenseur de Faraday. Ce tenseur est défini dans le cadre du formalisme mathématique de la relativité restreinte, où aux trois dimensions spatiales est adjointe une dimension temporelle.
Ensemble partiellement ordonnéEn mathématiques, un ensemble partiellement ordonné (parfois appelé poset d'après l'anglais partially ordered set) formalise et généralise la notion intuitive d'ordre ou d'arrangement entre les éléments d'un ensemble. Un ensemble partiellement ordonné est un ensemble muni d'une relation d'ordre qui indique que pour certains couples d'éléments, l'un est plus petit que l'autre. Tous les éléments ne sont pas forcément comparables, contrairement au cas d'un ensemble muni d'un ordre total.
Topologie de l'ordreEn mathématiques, la topologie de l'ordre est une topologie naturelle définie sur tout ensemble ordonné (E, ≤), et qui dépend de la relation d'ordre ≤. Lorsque l'on définit la topologie usuelle de la droite numérique R, deux approches équivalentes sont possibles. On peut se fonder sur la relation d'ordre dans R, ou sur la valeur absolue de la distance entre deux nombres. Les égalités ci-dessous permettent de passer de l'une à l'autre : La valeur absolue se généralise en la notion de distance, qui induit le concept de topologie d'un espace métrique.
Analyse en composantes principalesL'analyse en composantes principales (ACP ou PCA en anglais pour principal component analysis), ou, selon le domaine d'application, transformation de Karhunen–Loève (KLT) ou transformation de Hotelling, est une méthode de la famille de l'analyse des données et plus généralement de la statistique multivariée, qui consiste à transformer des variables liées entre elles (dites « corrélées » en statistique) en nouvelles variables décorrélées les unes des autres. Ces nouvelles variables sont nommées « composantes principales » ou axes principaux.
Tensor rank decompositionIn multilinear algebra, the tensor rank decomposition or the decomposition of a tensor is the decomposition of a tensor in terms of a sum of minimum tensors. This is an open problem. Canonical polyadic decomposition (CPD) is a variant of the rank decomposition which computes the best fitting terms for a user specified . The CP decomposition has found some applications in linguistics and chemometrics. The CP rank was introduced by Frank Lauren Hitchcock in 1927 and later rediscovered several times, notably in psychometrics.
Langue des signesthumb|Lettre V en langue des signes. Les langues des signes sont les langues visuo-gestuelles (produites par les mouvements des mains, du visage et du corps dans son ensemble) qui ont émergé au contact des personnes sourdes entre elles et dont l'évolution au cours du temps résulte de la pratique de leurs locuteurs. Elles assurent toutes les fonctions remplies par les langues vocales. Les langues des signes sont des langues naturelles, qui, au même titre que les langues vocales, ont émergé et évolué spontanément au cours du temps par la pratique de leurs locuteurs, sans planification ni prescription consciente ou explicite.
Écriture bicaméraleUne écriture bicamérale est une écriture comprenant des lettres minuscules et des lettres capitales. Plus précisément, elle oppose deux œils de format (ou « casse ») — et parfois de tracé — différents pour chaque caractère. Par opposition, une écriture dans laquelle il n’existe pas une telle opposition est dite monocamérale ou unicamérale. On appelle les lettres des minuscules, tandis que les lettres d’un format plus grand, utilisées dans certains cas régis par la grammaire et l’orthotypographie, sont les majuscules (à ne pas confondre avec capitales).
Rang (algèbre linéaire)En algèbre linéaire : le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Par exemple, pour une famille de vecteurs linéairement indépendants, son rang est le nombre de vecteurs ; le rang d'une application linéaire de dans est la dimension de son , qui est un sous-espace vectoriel de . Le théorème du rang relie la dimension de , la dimension du noyau de et le rang de ; le rang d'une matrice est le rang de l'application linéaire qu'elle représente, ou encore le rang de la famille de ses vecteurs colonnes ; le rang d'un système d'équations linéaires est le nombre d'équations que compte tout système échelonné équivalent.
Méthode d'EulerEn mathématiques, la méthode d'Euler, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Leonhard Euler (1707 — 1783), est une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles du premier ordre avec une condition initiale. C'est la plus simple des méthodes de résolution numérique des équations différentielles. thumb|Illustration de la méthode d'Euler explicite : l'avancée se fait par approximation sur la tangente au point initial.
Cas grammaticalEn linguistique, le cas est au sens large un trait grammatical principalement associé au nom, au pronom, à l'adjectif et au déterminant, et exprimant leur fonction syntaxique dans la proposition, ou leur rôle sémantique en rapport avec le procès exprimé par le verbe. Par exemple, l’accusatif est le cas du complément d'objet direct (fonction syntaxique) ; l’ est le cas indiquant le lieu de l’intérieur duquel on sort (rôle sémantique).
Langue des signes britanniquevignette|Alphabet bimanuel de la BSL. upright|vignette|« Merci » en BSL. La langue des signes britannique (, BSL), est la langue des signes utilisée par une partie des personnes sourdes et leurs proches au Royaume-Uni. La BSL n'est pas fondamentalement intelligible pour les utilisateurs de la langue des signes américaine (ASL). La communauté sourde britannique est cohésive, malgré des différences régionales, ce qui assure une bonne communication.
Camel casevignette|CamelCase illustré avec un chameau. vignette|camelCase illustré avec un dromadaire. vignette|Camel case sur un panneau de direction (les mots champions et gate sont mis bout-à-bout et le second commence par une majuscule pour marquer la séparation). Le camel case (de l'anglais, littéralement « casse de chameau ») est une notation consistant à écrire un ensemble de mots en les liant sans espace ni ponctuation, et en mettant en capitale la première lettre de chaque mot.
Théorème du rangEn mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le théorème du rang lie le rang d'une application linéaire et la dimension de son noyau. C'est un corollaire d'un théorème d'isomorphisme. Il peut être interprété par la notion d'indice d'application linéaire. En dimension finie, il permet notamment de caractériser l'inversibilité d'une application linéaire ou d'une matrice par son rang. vignette|Le théorème du rang.
