Publication

Computation of the discrete logarithm on elliptic curves of trace one

2002
Reports

Résumé

The security of several elliptic curve cryptosystems is based on the difficulty to compute the discrete logarithm problem. The motivation of using elliptic curves in cryptography is that there is no known sub-exponential algorithm which solves the Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem (ECDLP) in general. However, it has been shown that some special curves do not possess a difficult ECDLP. In 1999, an article of Nigel Smart provides a very efficient method for solving the ECDLP when the underlying elliptic curve is of trace one. In this note, we describe this method in more details and recall the mathematical background in order to understand it.

Source officielle

https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/f7e34219-884e-4fe0-b211-39341902ad49

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Concepts associés (31)

Cryptographie sur les courbes elliptiques

La cryptographie sur les courbes elliptiques (en anglais, elliptic curve cryptography ou ECC) regroupe un ensemble de techniques cryptographiques qui utilisent une ou plusieurs propriétés des courbes elliptiques, ou plus généralement d'une variété abélienne. L'usage des courbes elliptiques en cryptographie a été suggéré, de manière indépendante, par Neal Koblitz et Victor S. Miller en 1985.

Logarithme discret

Le logarithme discret est un objet mathématique utilisé en cryptologie. C'est l'analogue du logarithme réel qui est la réciproque de l'exponentielle, mais dans un groupe cyclique G fini. Le logarithme discret est utilisé pour la cryptographie à clé publique, typiquement dans l'échange de clés Diffie-Hellman et le chiffrement El Gamal.

Courbe elliptique

En mathématiques, une courbe elliptique est un cas particulier de courbe algébrique, munie entre autres propriétés d'une addition géométrique sur ses points. Les courbes elliptiques ont de nombreuses applications dans des domaines très différents des mathématiques : elles interviennent ainsi en mécanique classique dans la description du mouvement des toupies, en théorie des nombres dans la démonstration du dernier théorème de Fermat, en cryptologie dans le problème de la factorisation des entiers ou pour fabriquer des codes performants.

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