Coloration de graphethumb|Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs. En théorie des graphes, la coloration de graphe consiste à attribuer une couleur à chacun de ses sommets de manière que deux sommets reliés par une arête soient de couleur différente. On cherche souvent à utiliser le nombre minimal de couleurs, appelé nombre chromatique. La coloration fractionnaire consiste à chercher non plus une mais plusieurs couleurs par sommet et en associant des coûts à chacune.
Polynôme chromatiqueEn mathématiques, plus particulièrement en théorie des graphes, le polynôme chromatique d'un graphe est une fonction polynômiale donnant le nombre de colorations distinctes d'un graphe, en fonction du nombre de couleurs autorisées. Il a été introduit d'abord en 1912 pour les graphes planaires, par George David Birkhoff, qui cherchait à démontrer le théorème des quatre couleurs. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs au nombre chromatique du graphe et a pour degré l'ordre du graphe.
Graphe à seuilvignette| Un graphe à seuil. En théorie des graphes, un graphe à seuil est un graphe qui peut être construit, en partant d'un graphe à un seul sommet, par application répétée d'une des deux opérations suivantes : Ajout d'un sommet isolé au graphe. Ajout d'un sommet dominant au graphe, c'est-à-dire d'un sommet connecté à tous les autres sommets. Par exemple, le graphe de la figure ci-contre est un graphe de seuil : il peut être construit en commençant par un graphe à un seul sommet (sommet 1), puis en ajoutant les sept autres dans l'ordre dans lequel ils sont numérotés, les sommets noirs comme sommets isolés et les sommets rouges comme sommets dominants.
Coloration fractionnairedroite|vignette| 5: 2-coloration du graphe dodécaédrique. Il n'existe pas de 4: 2-coloration de ce graphe. En théorie des graphes, la coloration fractionnaire est une généralisation de la coloration des graphes ordinaire. Dans une coloration de graphe traditionnelle, une couleur est affectée à chaque sommet d'un graphe, et deux sommets adjacents ne doivent pas avoir la même couleur. Dans une coloration fractionnaire, un ensemble de couleurs est affecté à chaque sommet du graphe.
Coloration des arêtes d'un graphethumb|Coloration des arêtes du graphe de Desargues avec trois couleurs. En théorie des graphes et en algorithmique, une coloration des arêtes d'un graphe consiste à attribuer à chaque arête une couleur, en évitant que deux arêtes ayant une extrémité commune soient de la même couleur. La figure ci-contre est un exemple de coloration d'arêtes correcte. On vérifie en effet qu'aucun sommet n'est commun à deux arêtes de même couleur. On remarquera qu'ici, il n'aurait pas été possible de colorer les arêtes du graphe avec seulement deux couleurs.
Graphe cordalthumb|Un cycle, en noir, avec deux cordes, en vert. Si l'on s'en tient à cette partie, le graphe est cordal. Supprimer l'une des arêtes vertes rendrait le graphe non cordal. En effet, l'autre arête verte formerait, avec les trois arêtes noires, un cycle de longueur 4 sans corde. En théorie des graphes, on dit qu'un graphe est cordal si chacun de ses cycles de quatre sommets ou plus possède une corde, c'est-à-dire une arête reliant deux sommets non adjacents du cycle.
Graphe trivialement parfaitvignette|upright=2| Construction d'un graphe trivialement parfait à partir d'intervalles imbriqués et de la relation d'accessibilité dans un arbre. En théorie des graphes, un graphe trivialement parfait est un graphe qui a la propriété que dans chacun de ses sous-graphes induits, la taille du stable maximal est égale au nombre de cliques maximales. Les graphes trivialement parfaits ont été étudiés pour la première fois par Elliot S.
List edge-coloringIn mathematics, list edge-coloring is a type of graph coloring that combines list coloring and edge coloring. An instance of a list edge-coloring problem consists of a graph together with a list of allowed colors for each edge. A list edge-coloring is a choice of a color for each edge, from its list of allowed colors; a coloring is proper if no two adjacent edges receive the same color. A graph G is k-edge-choosable if every instance of list edge-coloring that has G as its underlying graph and that provides at least k allowed colors for each edge of G has a proper coloring.
Invariant de grapheEn théorie des graphes, un invariant de graphe est une quantité qui n'est pas modifiée par isomorphisme de graphes. Un invariant de graphe ne dépend donc que de la structure abstraite et pas des particularités de la représentation comme l'étiquetage ou le tracé. De nombreux invariants sont conservés par certains préordres ou ordres partiels naturels sur les graphes : Une propriété est monotone si elle est héritée par les sous-graphes. Le caractère biparti, sans triangle, ou planaire sont des exemples de propriétés monotones.
Densité d'un grapheEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des graphes, on peut associer à tout graphe un entier appelé densité du graphe. Ce paramètre mesure si le graphe a beaucoup d'arêtes ou peu. Un graphe dense (dense graph) est un graphe dans lequel le nombre d'arêtes (ou d'arcs) est proche du nombre maximal, par exemple un nombre quadratique par rapport au nombre de sommets. Un graphe creux (sparse graph) a au contraire peu d'arêtes, par exemple un nombre linéaire. La distinction entre graphe creux et dense est plutôt vague et dépend du contexte.
Induced subgraphIn the mathematical field of graph theory, an induced subgraph of a graph is another graph, formed from a subset of the vertices of the graph and all of the edges (from the original graph) connecting pairs of vertices in that subset. Formally, let be any graph, and let be any subset of vertices of G. Then the induced subgraph is the graph whose vertex set is and whose edge set consists of all of the edges in that have both endpoints in . That is, for any two vertices , and are adjacent in if and only if they are adjacent in .
Coloration gloutonnedroite|vignette|upright=1.4| Deux colorations gloutonnes du même graphe couronne pour des ordres différents sur les sommets. La numérotation de droite se généralise aux graphes bicolores à n sommets, et l'algorithme glouton utilise couleurs. Dans l'étude des problèmes de coloration de graphes en mathématiques et en informatique, une coloration gloutonne ou coloration séquentielle est une coloration des sommets d'un graphe obtenue par un algorithme glouton qui examine les sommets du graphe en séquence et attribue à chaque sommet la première couleur disponible.
Graphe complémentaireframe|right|Le graphe de Petersen, à gauche et son complémentaire, à droite. En théorie des graphes, le graphe complémentaire ou graphe inversé d'un graphe simple est un graphe simple ayant les mêmes sommets et tel que deux sommets distincts de soient adjacents si et seulement s'ils ne sont pas adjacents dans . Le graphe complémentaire ne doit pas être confondu avec le complémentaire dans le sens de la théorie des ensembles. En effet, l'ensemble des sommets de G reste inchangé. Le complémentaire du complémentaire est le graphe original.
Total coloringIn graph theory, total coloring is a type of graph coloring on the vertices and edges of a graph. When used without any qualification, a total coloring is always assumed to be proper in the sense that no adjacent edges, no adjacent vertices and no edge and either endvertex are assigned the same color. The total chromatic number χ′′(G) of a graph G is the fewest colors needed in any total coloring of G.
Théorie des ensemblesLa théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
Ensemblevignette|Ensemble de polygones dans un diagramme d'Euler En mathématiques, un ensemble désigne intuitivement un rassemblement d’objets distincts (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme une totalité » pour paraphraser Georg Cantor qui est à l'origine de la théorie des ensembles. Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble).
Ensemble videvignette|Notation de l'ensemble vide. En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément. L'ensemble vide peut être noté d'un O barré, à savoir ∅ ou simplement { }, qui est une paire d'accolades ne contenant qu'une espace, pour représenter un ensemble qui ne contient rien. La notation ∅ a été introduite par André Weil, dans le cadre de l'institution de notations par le groupe Bourbaki. Von Neumann dans son article de 1923, qui est l'une des premières références qui l'aborde, le note O.
Problème de l'isomorphisme de sous-graphesvignette|Le problème est de savoir si un graphe contient un autre graphe comme sous-graphe. En informatique théorique, le problème de l'isomorphisme de sous-graphes est le problème de décision suivant : étant donnés deux graphes G et H, déterminer si G contient un sous-graphe isomorphe à H. C'est une généralisation du problème de l'isomorphisme de graphes. Soient et deux graphes. Le problème de décision de l'isomorphisme de sous-graphe est : « Est-ce qu'il existe un sous-graphe , avec et , tel qu'il existe une bijection telle que ? ».
Sommet (théorie des graphes)vignette|Dans ce graphe, les sommets 4 et 5 sont voisins alors que les sommets 3 et 5 sont indépendants. Le degré du sommet 4 est égal à 3. Le sommet 6 est une feuille. En théorie des graphes, un sommet, aussi appelé nœud et plus rarement point, est l'unité fondamentale d'un graphe. Deux sommets sont voisins s'ils sont reliés par une arête. Deux sommets sont indépendants s'ils ne sont pas voisins. alt=A small example network with 8 vertices and 10 edges.|vignette|Réseau de huit sommets (dont un isolé) et 10 arêtes.
Component (graph theory)In graph theory, a component of an undirected graph is a connected subgraph that is not part of any larger connected subgraph. The components of any graph partition its vertices into disjoint sets, and are the induced subgraphs of those sets. A graph that is itself connected has exactly one component, consisting of the whole graph. Components are sometimes called connected components. The number of components in a given graph is an important graph invariant, and is closely related to invariants of matroids, topological spaces, and matrices.
