We classify all the simple modules for the algebra of relations on a finite set, give their dimension, and find the dimension of the Jacobson radical of the algebra.
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Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Les Z-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier. Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles. Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.
En algèbre, le radical de Jacobson d'un anneau commutatif est l'intersection de ses idéaux maximaux. Cette notion est due à Nathan Jacobson qui le premier en a fait l'étude systématique. Un élément x appartient au radical de Jacobson de l'anneau A si et seulement si 1 + ax est inversible pour tout a de A. Notons J le radical de Jacobson de l'anneau commutatif A et exploitons le fait que (d'après le théorème de Krull) 1 + ax est non inversible si et seulement s'il appartient à un idéal maximal.
thumb|Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi-simple ou complètement réductible s'il est somme directe de sous-modules simples ou, ce qui est équivalent, si chacun de ses sous-modules possède un supplémentaire. Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des anneaux semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.
Let K be an algebraically closed field of characteristic zero, and let G be a connected reductive algebraic group over K. We address the problem of classifying triples (G, H, V ), where H is a proper connected subgroup of G, and V is a finitedimensional ir ...
By juxtaposing ideas from fractal geometry and dynamical systems, Furstenberg proposed a series of conjectures in the late 1960's that explore the relationship between digit expansions with respect to multiplicatively independent bases. In this work, we in ...
Because building-integrated photovoltaic (BIPV) modules are fully integrated into a building envelope, the back of the module can be exposed to little or no ventilation, resulting in increased operating temperatures. As the temperature increases, the perfo ...
