Calcul des variationsLe calcul des variations (ou calcul variationnel) est, en mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, un ensemble de méthodes permettant de minimiser une fonctionnelle. Celle-ci, qui est à valeurs réelles, dépend d'une fonction qui est l'inconnue du problème. Il s'agit donc d'un problème de minimisation dans un espace fonctionnel de dimension infinie. Le calcul des variations s'est développé depuis le milieu du jusqu'aujourd'hui ; son dernier avatar est la théorie de la commande optimale, datant de la fin des années 1950.
Maupertuis's principleIn classical mechanics, Maupertuis's principle (named after Pierre Louis Maupertuis) states that the path followed by a physical system is the one of least length (with a suitable interpretation of path and length). It is a special case of the more generally stated principle of least action. Using the calculus of variations, it results in an integral equation formulation of the equations of motion for the system. Maupertuis's principle states that the true path of a system described by generalized coordinates between two specified states and is a stationary point (i.
MagnétohydrodynamiqueLa magnétohydrodynamique (MHD) est une discipline scientifique qui décrit le comportement d'un fluide conducteur du courant électrique en présence de champs électromagnétiques. Elle s'applique notamment aux plasmas, au noyau externe et même à l'eau de mer. C'est une généralisation de l'hydrodynamique (appelée plus communément dynamique des fluides, définie par les équations de Navier-Stokes) couplée à l'électromagnétisme (équations de Maxwell).
Intégrale multiplevignette|Fig. 2. Intégrale double comme volume du solide situé entre un domaine du plan xy et la surface image de ce domaine par une fonction. En analyse mathématique, l'intégrale multiple est une forme d'intégrale qui s'applique aux fonctions de plusieurs variables réelles. Les deux principaux outils de calcul sont le changement de variables et le théorème de Fubini. Ce dernier permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrale multiple à des calculs d'intégrales simples, et d'interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension n (ou son hypervolume si n > 3) comme l'intégrale d'une fonction de n – 1 variables (Fig.
Intégrale de cheminUne 'intégrale de chemin' (« path integral » en anglais) est une intégrale fonctionnelle, c'est-à-dire que l'intégrant est une fonctionnelle et que la somme est prise sur des fonctions, et non sur des nombres réels (ou complexes) comme pour les intégrales ordinaires. On a donc ici affaire à une intégrale en dimension infinie. Ainsi, on distinguera soigneusement l'intégrale de chemin (intégrale fonctionnelle) d'une intégrale ordinaire calculée sur un chemin de l'espace physique, que les mathématiciens appellent intégrale curviligne.
Champ scalaireUn champ scalaire est une fonction de plusieurs variables qui associe un seul nombre (ou scalaire) à chaque point de l'espace. Les champs scalaires sont utilisés en physique pour représenter les variations spatiales de grandeurs scalaires. Un champ scalaire est une forme ou où x est un vecteur de Rn. Le champ scalaire peut être visualisé comme un espace à n dimensions avec un nombre complexe ou réel attaché à chaque point de l'espace. La dérivée d'un champ scalaire résulte en un champ vectoriel appelé le gradient.
Méthode de Newtonvignette|Une itération de la méthode de Newton. En analyse numérique, la méthode de Newton ou méthode de Newton-Raphson est, dans son application la plus simple, un algorithme efficace pour trouver numériquement une approximation précise d'un zéro (ou racine) d'une fonction réelle d'une variable réelle. Cette méthode doit son nom aux mathématiciens anglais Isaac Newton (1643-1727) et Joseph Raphson (peut-être 1648-1715), qui furent les premiers à la décrire pour la recherche des solutions d'une équation polynomiale.
Trois dimensionsTrois dimensions, tridimensionnel ou 3D sont des expressions qui caractérisent l'espace qui nous entoure, tel que perçu par notre vision, en ce qui concerne la largeur, la hauteur et la profondeur. Le terme « 3D » est également (et improprement) utilisé (surtout en anglais) pour désigner la représentation en (numérique), le relief des images stéréoscopiques ou autres , et même parfois le simple effet stéréophonique, qui ne peut par construction rendre que de la 2D (il ne s'agit donc que du calcul des projections perspectives, des ombrages, des rendus de matières).
Dérivée fonctionnelleLa dérivée fonctionnelle est un outil mathématique du calcul des variations. Elle exprime la variation d'une fonctionnelle résultant d'une variation infinitésimale de la fonction fournie en argument. Cet outil est principalement utilisé pour trouver les extremums d'une fonctionnelle. En physique il est souvent nécessaire de minimiser une fonctionnelle, par exemple en mécanique analytique où la trajectoire suivie par un système doit minimiser l'action (voir principe de moindre action).
Leibniz integral ruleIn calculus, the Leibniz integral rule for differentiation under the integral sign states that for an integral of the form where and the integrands are functions dependent on the derivative of this integral is expressible as where the partial derivative indicates that inside the integral, only the variation of with is considered in taking the derivative. It is named after Gottfried Leibniz.
Équilibre des puissancesL’équilibre des puissances (traduction de balance of power) est un concept central de la théorie réaliste des relations internationales. Dans un système d'équilibre de la puissance, les États choisissent de se ranger aux côtés du plus fort (bandwagoning) ou tentent d'équilibrer celui-ci en se coalisant (balancing). La théorie de l’équilibre des puissances suggère que la sécurité nationale est accrue lorsque la capacité militaire est répartie de telle sorte qu’aucun État n’est assez fort pour dominer tous les autres.
Reconnexion magnétiquedroite|vignette|380px|Reconnexion magnétique: Ce schéma est une coupe à travers quatre domaines magnétiques séparés par une interface propice à un phénomène de reconnexion. Deux séparatrices (voir texte) divisent l'espace en quatre domaines magnétiques avec un point critique (de stagnation) au centre de la figure. Les larges flèches jaunes indiquent le mouvement général du plasma. Les lignes magnétiques et le plasma qui les porte s'écoulent vers le centre à partir du haut (lignes rouges) et du bas (lignes bleues) de l'image, reconnectent au niveau de la zone critique, puis s'évacuent vers l'extérieur à gauche et à droite.
