Geometric invariant theoryIn mathematics, geometric invariant theory (or GIT) is a method for constructing quotients by group actions in algebraic geometry, used to construct moduli spaces. It was developed by David Mumford in 1965, using ideas from the paper in classical invariant theory. Geometric invariant theory studies an action of a group G on an algebraic variety (or scheme) X and provides techniques for forming the 'quotient' of X by G as a scheme with reasonable properties.
Fonction homogènevignette|Exemple de fonction homogène de degré 1 En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.
InvariantEn mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations (non équivalentes). Il est utilisé aussi bien en géométrie et en topologie qu'en analyse et en algèbre. Si g : E→E est une application, un invariant de g est un point fixe, c'est-à-dire un élément x de E qui est sa propre image par g : Pour une telle application g, une partie P de E est dite : invariante point par point si tous ses éléments sont des points fixes ; globalement invariante par g, ou stable par g, si , c'est-à-dire : (cette propriété est moins forte que la précédente).
Polynôme homogèneEn mathématiques, un polynôme homogène, ou forme algébrique, est un polynôme en plusieurs indéterminées dont tous les monômes non nuls sont de même degré total. Par exemple le polynôme x + 2xy + 9xy est homogène de degré 5 car la somme des exposants est 5 pour chacun des monômes ; les polynômes homogènes de degré 2 sont les formes quadratiques. Les polynômes homogènes sont omniprésents en mathématiques et en physique théorique. Soit K un corps commutatif. Un polynôme homogène de degré d en n variables est un polynôme dans K[X, .
GéodésiqueEn géométrie, une géodésique est la généralisation d'une ligne droite du plan ou de l'espace euclidien, au cadre des surfaces, ou plus généralement des variétés ou des espaces métriques. Elles sont étroitement liées à la notion de plus court chemin relativement à un calcul de distance sur un tel espace. Ainsi, le plus court chemin (ou les plus courts chemins, s'il en existe plusieurs), entre deux points est toujours une géodésique. Mais plus précisément, on appelle géodésique une courbe qui, à l'échelle locale, relie les points en minimisant la distance.
Numerical methods for ordinary differential equationsNumerical methods for ordinary differential equations are methods used to find numerical approximations to the solutions of ordinary differential equations (ODEs). Their use is also known as "numerical integration", although this term can also refer to the computation of integrals. Many differential equations cannot be solved exactly. For practical purposes, however – such as in engineering – a numeric approximation to the solution is often sufficient. The algorithms studied here can be used to compute such an approximation.
Équation de continuitévignette|mécanique des fluides En mécanique des fluides, le principe de conservation de la masse peut être décrit par l'équation de continuité sous plusieurs formes différentes : locale conservative (dérivée en temps normale), locale non conservative (la dérivée en temps suit la particule dans son mouvement), ou intégrale. Suivant les problèmes posés, c'est l'une ou l'autre de ces équations qui pourra être retenue, toutes étant équivalentes.
Geodesics in general relativityIn general relativity, a geodesic generalizes the notion of a "straight line" to curved spacetime. Importantly, the world line of a particle free from all external, non-gravitational forces is a particular type of geodesic. In other words, a freely moving or falling particle always moves along a geodesic. In general relativity, gravity can be regarded as not a force but a consequence of a curved spacetime geometry where the source of curvature is the stress–energy tensor (representing matter, for instance).
Équation intégraleUne équation intégrale est une équation où la fonction inconnue est à l'intérieur d'une intégrale. Elles sont importantes dans plusieurs domaines physiques. Les équations de Maxwell sont probablement leurs plus célèbres représentantes. Elles apparaissent dans des problèmes des transferts d'énergie radiative et des problèmes d'oscillations d'une corde, d'une membrane ou d'un axe. Les problèmes d'oscillation peuvent aussi être résolus à l'aide d'équations différentielles.
Coordonnées homogènesEn mathématiques, et plus particulièrement en géométrie projective, les coordonnées homogènes (ou coordonnées projectives), introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif, comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées homogènes sont largement utilisées en infographie et plus particulièrement pour la représentation de scènes en trois dimensions, car elles sont adaptées à la géométrie projective et elles permettent de caractériser les transformations de l'espace.
Invariant de nœudsthumb|Les deux nœuds sont équivalents, leur invariant est donc identique. En théorie des nœuds, un invariant de nœuds est une quantité définie pour chaque nœud qui est la même pour tous les nœuds équivalents. On parlera d'équivalence lorsqu'on peut passer d'un nœud à un autre par un ensemble de mouvements de Reidemeister. Ces invariants topologiques peuvent être de tout type : des booléens, des scalaires, des polynômes (polynôme d'Alexander, le polynôme de Jones, le ) ou encore le groupe fondamental du complément d'un nœud, les de Vassiliev et l'.
Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
