Sommet (théorie des graphes)vignette|Dans ce graphe, les sommets 4 et 5 sont voisins alors que les sommets 3 et 5 sont indépendants. Le degré du sommet 4 est égal à 3. Le sommet 6 est une feuille. En théorie des graphes, un sommet, aussi appelé nœud et plus rarement point, est l'unité fondamentale d'un graphe. Deux sommets sont voisins s'ils sont reliés par une arête. Deux sommets sont indépendants s'ils ne sont pas voisins. alt=A small example network with 8 vertices and 10 edges.|vignette|Réseau de huit sommets (dont un isolé) et 10 arêtes.
Sous-groupeUn sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
Sous-groupe normalEn théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.
Graphe sommet-transitifEn théorie des graphes, un graphe non-orienté est sommet-transitif si pour tout couple de sommets, il existe un automorphisme de graphe qui envoie le premier sommet sur le deuxième. De manière informelle cette propriété indique que tous les sommets jouent exactement le même rôle à l'intérieur du graphe. Un graphe est sommet-transitif si pour tout couple de sommets, il existe un automorphisme de graphe qui envoie le premier sommet sur le deuxième.
Graphe distance-transitifEn théorie des graphes, un graphe non-orienté est distance-transitif si pour tous sommets u, v, x, y tels que u et v d'une part et x et y d'autre part sont à même distance, il existe un automorphisme de graphe envoyant u sur x et v sur y. Autrement dit, un graphe est distance-transitif si son groupe d'automorphisme agit transitivement sur chacun des ensembles de paires de sommets à même distance. Tout graphe distance-transitif est distance-régulier.
Sous-groupe caractéristiqueDans un groupe G, un sous-groupe H est dit caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G : strictement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ; pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariant, lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G : Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un
Groupe symétriqueEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini. Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, .
Voisinage (théorie des graphes)En théorie des graphes on dit que deux sommets d'un graphe non-orienté sont voisins ou adjacents s'ils sont reliés par une arête. Le voisinage d'un sommet peut désigner l'ensemble de ses sommets voisins ou bien un sous-graphe associé, par exemple le sous-graphe induit. Dans un graphe orienté, on emploie généralement le terme de prédécesseur ou de successeur. Dans un graphe non orienté , le voisinage d'un sommet , souvent noté (N pour neighbourhood) peut désigner plusieurs choses : L'ensemble des sommets voisins : Les sous-graphe de induit par les sommets précédents, avec ou sans selon les versions.
Problème des rencontresEn mathématiques, le problème des rencontres, ou problème de Montmort, ou encore problème des chapeaux, consiste à déterminer la probabilité que, n jetons numérotés de 1 à n ayant été mis au hasard dans des cases elles-mêmes numérotées de 1 à n, aucun jeton ne soit à sa place (ou celle de l'évènement contraire). De façon plus savante, c'est la recherche de la probabilité qu'une permutation prise au hasard soit un dérangement, c'est-à-dire ne possède pas de « rencontre », autrement dit de point fixe.
Groupe de permutationsEn théorie des groupes (mathématiques), un groupe de permutations d'un ensemble X est par définition un sous-groupe du groupe symétrique SX. On parle d'un groupe de permutations de X ou, s'il n'est pas nécessaire de préciser l'ensemble X, d'un groupe de permutations. Pour un ensemble X, nous désignerons ici par SX et nous appellerons groupe symétrique de X l'ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe ∘ définie par f ∘ g : X → X, x ↦ f(g(x)). Cette définition convient à l'étude des actions à gauche d'un groupe sur un ensemble.
Focal subgroup theoremIn abstract algebra, the focal subgroup theorem describes the fusion of elements in a Sylow subgroup of a finite group. The focal subgroup theorem was introduced in and is the "first major application of the transfer" according to . The focal subgroup theorem relates the ideas of transfer and fusion such as described in . Various applications of these ideas include local criteria for p-nilpotence and various non-simplicity criteria focussing on showing that a finite group has a normal subgroup of index p.
Groupe dérivéEn mathématiques, en algèbre dans un groupe G, le groupe dérivé, noté D(G) ou [G, G], est le plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G, G] est abélien. Le groupe dérivé de G est trivial si et seulement si le groupe G est abélien. Le groupe quotient de G par son groupe dérivé est l'abélianisé de G. Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en géométrie.
Liste d'adjacencethumb|Pour chaque sommet, la liste d'adjacence est représentée en jaune. En algorithmique, une liste d'adjacence est une structure de données utilisée pour représenter un graphe. Cette représentation est particulièrement adaptée aux graphes creux (c'est-à-dire peu denses), contrairement à la matrice d'adjacence adaptée aux graphes denses. La liste d'adjacence d'un graphe non orienté, est la liste des voisins de chaque sommet. Celle d'un graphe orienté est typiquement, pour chaque sommet, la liste de nœuds à la tête de chaque arête ayant le sommet comme queue.
Matrice d'adjacenceEn mathématiques, en théorie des graphes, en informatique, une matrice d'adjacence pour un graphe fini à n sommets est une matrice de dimension n × n dont l'élément non diagonal a est le nombre d'arêtes liant le sommet i au sommet j. L'élément diagonal a est le nombre de boucles au sommet i (pour des graphes simples, ce nombre est donc toujours égal à 0 ou 1). Cet outil mathématique est très utilisé comme structure de données en informatique (tout comme la représentation par liste d'adjacence), mais intervient aussi naturellement dans les chaînes de Markov.
Problème de l'isomorphisme de sous-graphesvignette|Le problème est de savoir si un graphe contient un autre graphe comme sous-graphe. En informatique théorique, le problème de l'isomorphisme de sous-graphes est le problème de décision suivant : étant donnés deux graphes G et H, déterminer si G contient un sous-graphe isomorphe à H. C'est une généralisation du problème de l'isomorphisme de graphes. Soient et deux graphes. Le problème de décision de l'isomorphisme de sous-graphe est : « Est-ce qu'il existe un sous-graphe , avec et , tel qu'il existe une bijection telle que ? ».
Vertex coverIn graph theory, a vertex cover (sometimes node cover) of a graph is a set of vertices that includes at least one endpoint of every edge of the graph. In computer science, the problem of finding a minimum vertex cover is a classical optimization problem. It is NP-hard, so it cannot be solved by a polynomial-time algorithm if P ≠ NP. Moreover, it is hard to approximate – it cannot be approximated up to a factor smaller than 2 if the unique games conjecture is true. On the other hand, it has several simple 2-factor approximations.
Graphe biparti completEn théorie des graphes, un graphe est dit biparti complet (ou encore est appelé une biclique) s'il est biparti et chaque sommet du premier ensemble est relié à tous les sommets du second ensemble. Plus précisément, il existe une partition de son ensemble de sommets en deux sous-ensembles et telle que chaque sommet de est relié à chaque sommet de . Si le premier ensemble est de cardinal m et le second ensemble est de cardinal n, le graphe biparti complet est noté . Si m = 1, le graphe complet biparti K1,n est une étoile et est noté .
Problème de la cliquethumb|upright=1.5|Recherche exhaustive d'une 4-clique dans ce graphe à 7 sommets en testant la complétude des C(7,4)= 35 sous-graphes à 4 sommets. En informatique, le problème de la clique est un problème algorithmique qui consiste à trouver des cliques (sous-ensembles de sommets tous adjacents deux à deux, également appelés sous-graphes complets) dans un graphe. Ce problème a plusieurs formulations différentes selon les cliques et les informations sur les cliques devant être trouvées.
Induced subgraphIn the mathematical field of graph theory, an induced subgraph of a graph is another graph, formed from a subset of the vertices of the graph and all of the edges (from the original graph) connecting pairs of vertices in that subset. Formally, let be any graph, and let be any subset of vertices of G. Then the induced subgraph is the graph whose vertex set is and whose edge set consists of all of the edges in that have both endpoints in . That is, for any two vertices , and are adjacent in if and only if they are adjacent in .
PermutationEn mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation d'objets distincts rangés dans un certain ordre correspond à un changement de l'ordre de succession de ces objets. La permutation est une des notions fondamentales en combinatoire, c'est-à-dire pour des problèmes de dénombrement et de probabilités discrètes. Elle sert ainsi à définir et à étudier le carré magique, le carré latin, le sudoku, ou le Rubik's Cube.
