Publication

Discrete maximum principle for Galerkin approximations of the Laplace operator on arbitrary meshes

2004
Journal Articles

Résumé

We derive a nonlinear stabilized Galerkin approximation of the Laplace operator for which we prove a discrete maximum principle on arbitrary meshes and for arbitrary space dimension without resorting to the well-known acute condition or generalizations thereof. We also prove the existence of a discrete solution and discuss the extension of the scheme to convection–diffusion–reaction equations. Finally, we present examples showing that the new scheme cures local minima produced by the standard Galerkin approach while maintaining first-order accuracy in the H1-norm.

Source officielle

https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/a84e0a3f-ff14-4ea9-85ae-2c36baa3da47

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Concepts associés (32)

Méthode de Galerkine

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse numérique, les méthodes de Galerkine sont une classe de méthodes permettant de transformer un problème continu (par exemple une équation différentielle) en un problème discret. Cette approche est attribuée aux ingénieurs russes Ivan Boubnov (1911) et Boris Galerkine (1913). Cette méthode est couramment utilisée dans la méthode des éléments finis. On part de la formulation faible du problème. La solution appartient à un espace fonctionnel satisfaisant des propriétés de régularité bien définies.

Méthode sans maillage

In the field of numerical analysis, meshfree methods are those that do not require connection between nodes of the simulation domain, i.e. a mesh, but are rather based on interaction of each node with all its neighbors. As a consequence, original extensive properties such as mass or kinetic energy are no longer assigned to mesh elements but rather to the single nodes. Meshfree methods enable the simulation of some otherwise difficult types of problems, at the cost of extra computing time and programming effort.

Laplacien discret

En mathématiques, le laplacien discret est une analogie du laplacien continu adaptée au cas de problèmes discret (graphes, par exemple). Il est notamment employé en analyse numérique, par exemple dans le cadre de la résolution de l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies, ou en pour la détection de contours. Soit une fonction réelle de deux variables réelles et et . On définit le laplacien discret de comme la somme des dérivées secondes discrètes selon et selon , soit : L'exemple précédent est décrit dans une grille régulière cartésienne de dimension (plan).

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