Algèbre alternativeEn algèbre, une algèbre alternative est une algèbre dans laquelle la multiplication n'est pas nécessairement associative mais satisfait à deux identités exprimant l'alternativité, à savoir pour x et y quelconques dans l'algèbre. Toute algèbre associative est évidemment alternative mais certaines algèbres strictement non associatives telles que les octonions le sont aussi. Les algèbres alternatives sont ainsi nommées car ce sont les algèbres pour lesquelles l'associateur est alterné.
Algèbre sur un corpsEn mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que : (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ; la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ; la loi × est bilinéaire.
Corps gaucheEn mathématiques, un corps gauche ou anneau à division (parfois simplement appelé corps, voir plus bas) est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles certains types d'additions, de soustractions, de multiplications et de divisions. Plus précisément, un corps gauche est un anneau dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe pour la multiplication. Un corps gauche dont la multiplication est commutative est appelé « corps commutatif ».
Algèbre extérieureEn mathématiques, et plus précisément en algèbre et en analyse vectorielle, l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel E est une algèbre associative graduée, notée . La multiplication entre deux éléments a et b est appelée le produit extérieur et est notée . Le carré de tout élément de E est zéro (), on dit que la multiplication est alternée, ce qui entraîne que pour deux éléments de E : (la loi est « anti-commutative »). L'algèbre extérieure est aussi appelée algèbre de Grassmann nommée ainsi en l'honneur de Hermann Grassmann.
Anneau semi-simpleEn mathématiques et plus particulièrement en algèbre, un anneau A est dit semi-simple si A, considéré comme A-module, est semi-simple, c'est-à-dire somme directe de A-modules qui n'admettent pas d'autres sous-modules que {0} et lui-même. À isomorphisme près, ce sont les anneaux produits d'anneaux de matrices carrées sur des corps, commutatifs ou non. Cette notion est présente dans de nombreuses branches mathématiques : on peut citer l'algèbre linéaire, l'arithmétique, la théorie des représentations d'un groupe fini celle des groupes de Lie ou celle des algèbres de Lie.
Corps commutatifvignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriques fondamentales de l'algèbre générale. C'est un ensemble muni de deux opérations binaires rendant possibles les additions, soustractions, multiplications et divisions. Plus précisément, un corps commutatif est un anneau commutatif dans lequel l'ensemble des éléments non nuls est un groupe commutatif pour la multiplication.
Okubo algebraIn algebra, an Okubo algebra or pseudo-octonion algebra is an 8-dimensional non-associative algebra similar to the one studied by Susumu Okubo. Okubo algebras are composition algebras, flexible algebras (A(BA) = (AB)A), Lie admissible algebras, and power associative, but are not associative, not alternative algebras, and do not have an identity element. Okubo's example was the algebra of 3-by-3 trace-zero complex matrices, with the product of X and Y given by aXY + bYX – Tr(XY)I/3 where I is the identity matrix and a and b satisfy a + b = 3ab = 1.
Mathématiquesthumb|upright|Raisonnement mathématique sur un tableau. Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Algèbre de Boole (logique)Lalgèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole. L'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques.
Nombre algébriqueUn nombre algébrique, en mathématiques, est un nombre complexe solution d'une équation polynomiale à coefficients dans le corps des rationnels (autrement dit racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels). Les nombres entiers et rationnels sont algébriques, ainsi que toutes les racines de ces nombres. Les nombres complexes qui ne sont pas algébriques, comme π et e (théorème de Lindemann-Weierstrass), sont dits transcendants. L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent fait partie de la théorie de Galois.
Réseau (géométrie)En mathématiques, un réseau d'un espace (vectoriel) euclidien est un sous-groupe discret de l’espace, de rang fini n. Par exemple, les vecteurs de Rn à coordonnées entières dans une base forment un réseau de Rn. Cette notion permet de décrire mathématiquement des maillages, comme celui correspondant à la figure 1. thumb|Fig. 1. Un réseau est un ensemble discret disposé dans un espace vectoriel réel de dimension finie de manière régulière, au sens où la différence de deux éléments du réseau est encore élément du réseau.
Algèbre de LieEn mathématiques, une algèbre de Lie, nommée en l'honneur du mathématicien Sophus Lie, est un espace vectoriel qui est muni d'un crochet de Lie, c'est-à-dire d'une loi de composition interne bilinéaire, alternée, et qui vérifie la relation de Jacobi. Une algèbre de Lie est un cas particulier d'algèbre sur un corps. Soit K un corps commutatif. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Le produit est appelé crochet de Lie (ou simplement crochet) de et .
