Publication

Lattice theoretic approach to space-time codes from division algebras

2012
Student Projects

Résumé

This master project on algebraic coding theory gathers various techniques from lattice theory, central simple algebras and algebraic number theory. The thesis begins with the formulation of the engineering problem into mathematical form. It presents how space-time codes appeared, and how we can construct codes based on Q(i)-central division algebras. More precisely, it is explained how we can build codes from cyclic division algebras; and a generalization is done with the introduction of crossed product algebras. The approach used is slightly more geometric than what is usually done in the literature. We also give slight generalization to known methods for analyzing minimum determinants of division algebra-based codes.

Source officielle

https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/a7b9f1de-e97b-41bb-bdbe-a533a139afb8

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Concepts associés (32)

Algèbre d'Azumaya

En mathématiques, la notion d'algèbre d'Azumaya est une généralisation de la notion d'algèbre centrale simple aux R-algèbres dont les scalaires R ne forment pas un corps. Elle a été introduite dans un article de en 1951, dans le cas où R est un anneau local commutatif, puis a été développée par Alexander Grothendieck comme ingrédient de base à une théorie du groupe de Brauer en géométrie algébrique, dans les séminaires Bourbaki à partir de 1964.

Algèbre de quaternions

En mathématiques, une algèbre de quaternions sur un corps commutatif K est une K-algèbre de dimension 4 qui généralise à la fois le corps des quaternions de Hamilton et l'algèbre des matrices carrées d'ordre 2. Pour être plus précis, ce sont les algèbres centrales simples sur K de degré 2. Dans cet article, on note K un corps commutatif (de caractéristique quelconque). On appelle algèbre de quaternions sur K toute algèbre (unitaire et associative) A de dimension 4 sur K qui est simple (c'est-à-dire que A et {0} sont les seuls idéaux bilatères) et dont le centre est K.

Théorème de Frobenius généralisé

En mathématiques, diverses versions de théorèmes de Frobenius généralisés ont étendu progressivement le théorème de Frobenius de 1877. Ce sont des théorèmes d'algèbre générale qui classifient les algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif R des réels. Moyennant certaines restrictions, il n'y en a que quatre : R lui-même, C (complexes), H (quaternions) et O (octonions). Toutes les algèbres sont ici implicitement supposées unifères, et leur unicité s'entend à isomorphisme près.

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