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Criteria for the existence of a potential well

Charles Stuart
2017
Journal Articles

Résumé

We consider a critical point u(0) of a functional f is an element of C-1 (H, R), where H is a real Hilbert space, and formulate criteria ensuring that u(0) lies in a potential well of f without supposing that f' is Frechet differentiable at u(0). The derivative is required to be Gateaux differentiable at u(0), but positive definiteness of f ''(u(0)) does not even ensure that f has a local minimum at u(0) when f' is not Frechet differentiable at u(0). This issue is also discussed in the context of the energy functional for a parameter dependent nonlinear eigenvalue problem and then for a particular case involving a degenerate elliptic Dirichlet problem on a bounded domain in R-N. (C) 2017 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Source officielle

https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/8869778a-44e4-4f26-a0ec-358c5d99428a

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Concepts associés (32)

Fréchet derivative

In mathematics, the Fréchet derivative is a derivative defined on normed spaces. Named after Maurice Fréchet, it is commonly used to generalize the derivative of a real-valued function of a single real variable to the case of a vector-valued function of multiple real variables, and to define the functional derivative used widely in the calculus of variations. Generally, it extends the idea of the derivative from real-valued functions of one real variable to functions on normed spaces.

Gateaux derivative

In mathematics, the Gateaux differential or Gateaux derivative is a generalization of the concept of directional derivative in differential calculus. Named after René Gateaux, a French mathematician who died at age 25 in World War I, it is defined for functions between locally convex topological vector spaces such as Banach spaces. Like the Fréchet derivative on a Banach space, the Gateaux differential is often used to formalize the functional derivative commonly used in the calculus of variations and physics.

Espace de Hilbert

vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (resp. complexe) muni d'un produit scalaire euclidien (resp. hermitien), qui permet de mesurer des longueurs et des angles et de définir une orthogonalité. De plus, un espace de Hilbert est complet, ce qui permet d'y appliquer des techniques d'analyse. Ces espaces doivent leur nom au mathématicien allemand David Hilbert.

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