Quadratic fieldIn algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square-free integer different from and . If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers.
Dimension d'un espace vectorielvignette|espace à zéro dimension. En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.
Ε-quadratic formIn mathematics, specifically the theory of quadratic forms, an ε-quadratic form is a generalization of quadratic forms to skew-symmetric settings and to *-rings; ε = ±1, accordingly for symmetric or skew-symmetric. They are also called -quadratic forms, particularly in the context of surgery theory. There is the related notion of ε-symmetric forms, which generalizes symmetric forms, skew-symmetric forms (= symplectic forms), Hermitian forms, and skew-Hermitian forms.
Polynôme caractéristiqueEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, à toute matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur l'endomorphisme, comme ses valeurs propres, son déterminant et sa trace. Le théorème de Cayley-Hamilton assure que toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.
OctonionEn mathématiques, les octonions ou octaves sont une extension non associative des quaternions. Ils forment une algèbre à huit dimensions sur le corps R des nombres réels. L’algèbre des octonions est généralement notée O. En perdant l’importante propriété d’associativité, les octonions ont reçu moins d’attention que les quaternions. Malgré cela, ils gardent leur importance en algèbre et en géométrie, notamment parmi les groupes de Lie. Les octonions ont été découverts en 1843 par , un ami de William Hamilton, qui les appela octaves.
CoquaternionEn mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton inventés en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents. L'ensemble forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont Avec ces produits l'ensemble est isomorphe au groupe diédral d'un carré.
Champ (physique)En physique, un champ est la donnée, pour chaque point de l'espace-temps, de la valeur d'une grandeur physique. Cette grandeur physique peut être scalaire (température, pression...), vectorielle (vitesse des particules d'un fluide, champ électrique...) ou tensorielle (comme le tenseur de Ricci en relativité générale). Un exemple de champ scalaire est donné par la carte des températures d'un bulletin météorologique télévisé : la température atmosphérique prend, en chaque point, une valeur particulière.
Majorant ou minorantEn mathématiques, soient (E , ≤) un ensemble ordonné et F une partie de E ; un élément x de E est : un majorant de F s'il est supérieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F : ; un minorant de F s'il est inférieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F :. Si F possède un majorant x alors on dit que F est une partie majorée. Si F possède un minorant x alors on dit que F est une partie minorée.
Classe caractéristiqueUne classe caractéristique est un objet mathématique défini et étudié notamment en topologie algébrique et en K-théorie, afin de différencier les fibrés vectoriels. De telles classes sont aujourd'hui comprises comme des invariants cohomologiques. La notion de classe caractéristique répond à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe caractéristique de est une classe dans la cohomologie de la base qui vérifie la condition suivante, dite de compatibilité : pour toute application continue , on a où est le fibré vectoriel induit sur par .
Involution (mathématiques)En mathématiques, une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image. C'est le cas par exemple du changement de signe dans l'ensemble des nombres réels, ou des symétries du plan ou de l'espace en géométrie euclidienne. En algèbre linéaire, les endomorphismes involutifs sont d'ailleurs appelés symétries. Des involutions apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment en combinatoire et en topologie.
Théorie des invariantsEn mathématiques, la théorie des invariants, initiée et développée en particulier par Arthur Cayley, James Joseph Sylvester, Charles Hermite, Paul Gordan et de nombreux autres mathématiciens, est l'étude des invariants des formes algébriques (de façon équivalente, des tenseurs symétriques) pour les actions de groupe lors des transformations linéaires. À la fin du , elle est au centre d'un important effort de recherche lorsqu'il apparaît qu'elle pourrait être la clé de voûte en algorithmique (en compétition avec d'autres formulations mathématiques de l'invariance de la symétrie).
Matrice (mathématiques)thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
