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Statistics Of Prime Divisors In Function Fields

2009
Journal Articles

Résumé

We show that the prime divisors of a random polynomial in F-q[t] are typically "Poisson distributed". This result is analogous to the result in Z of Granville [1]. Along the way, we use a sieve developed by Granville and Soundararajan [2] to give a simple proof of the Erdos-Kac theorem in the function field setting. This approach gives stronger results about the moments of the sequence {omega(f)}(f is an element of Fq)[t] than was previously known, where omega(f) is the number of prime divisors of f.

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Concepts associés (32)

Prime omega function

In number theory, the prime omega functions and count the number of prime factors of a natural number Thereby (little omega) counts each distinct prime factor, whereas the related function (big omega) counts the total number of prime factors of honoring their multiplicity (see arithmetic function). That is, if we have a prime factorization of of the form for distinct primes (), then the respective prime omega functions are given by and . These prime factor counting functions have many important number theoretic relations.

Diviseur

Le mot “diviseur” a deux significations en mathématiques. Une division est effectuée à partir d’un “dividende” et d’un “diviseur”, et une fois l’opération terminée, le produit du “quotient” par le diviseur augmenté du “reste” est égal au dividende. En arithmétique, un “diviseur” d'un entier n est un entier dont n est un multiple. Plus formellement, si d et n sont deux entiers, d est un diviseur de n seulement s'il existe un entier k tel que . Ainsi est un diviseur de car .

Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs

En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque : La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers et n premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1.

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