Schéma (géométrie algébrique)En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'unicité des points génériques et le fait d'autoriser des équations à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Coherent sheaf cohomologyIn mathematics, especially in algebraic geometry and the theory of complex manifolds, coherent sheaf cohomology is a technique for producing functions with specified properties. Many geometric questions can be formulated as questions about the existence of sections of line bundles or of more general coherent sheaves; such sections can be viewed as generalized functions. Cohomology provides computable tools for producing sections, or explaining why they do not exist. It also provides invariants to distinguish one algebraic variety from another.
Variété projectiveEn géométrie algébrique, les variétés projectives forment une classe importante de variétés. Elles vérifient des propriétés de compacité et des propriétés de finitude. C'est l'objet central de la géométrie algébrique globale. Sur un corps algébriquement clos, les points d'une variété projective sont les points d'un ensemble algébrique projectif. On fixe un corps (commutatif) k. Algèbre homogène. Soit B le quotient de par un idéal homogène ( idéal engendré par des polynômes homogènes).
Normal schemeIn algebraic geometry, an algebraic variety or scheme X is normal if it is normal at every point, meaning that the local ring at the point is an integrally closed domain. An affine variety X (understood to be irreducible) is normal if and only if the ring O(X) of regular functions on X is an integrally closed domain. A variety X over a field is normal if and only if every finite birational morphism from any variety Y to X is an isomorphism. Normal varieties were introduced by .
Toric varietyIn algebraic geometry, a toric variety or torus embedding is an algebraic variety containing an algebraic torus as an open dense subset, such that the action of the torus on itself extends to the whole variety. Some authors also require it to be normal. Toric varieties form an important and rich class of examples in algebraic geometry, which often provide a testing ground for theorems. The geometry of a toric variety is fully determined by the combinatorics of its associated fan, which often makes computations far more tractable.
Théorème des hyperplans de LefschetzEn mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique et en topologie algébrique, le théorème des hyperplans de Lefschetz est un énoncé précis de certaines relations entre la forme d'une variété algébrique et la forme de ses sous-variétés. Plus précisément, le théorème énonce que pour une variété X plongée dans l'espace projectif et une section hyperplane (i.e. une intersection de X à un hyperplan) Y, les groupes d'homologie, de cohomologie et d'homotopie de X déterminent ceux de Y.
Homogeneous coordinate ringIn algebraic geometry, the homogeneous coordinate ring R of an algebraic variety V given as a subvariety of projective space of a given dimension N is by definition the quotient ring R = K[X0, X1, X2, ..., XN] / I where I is the homogeneous ideal defining V, K is the algebraically closed field over which V is defined, and K[X0, X1, X2, ..., XN] is the polynomial ring in N + 1 variables Xi. The polynomial ring is therefore the homogeneous coordinate ring of the projective space itself, and the variables are the homogeneous coordinates, for a given choice of basis (in the vector space underlying the projective space).
ThéorieUne théorie (du grec theoria, « contempler, observer, examiner ») est un ensemble cohérent, si elle prétend à la scientificité, d'explications, de notions ou d'idées sur un sujet précis, pouvant inclure des lois et des hypothèses, induites par l'accumulation de faits provenant de l'observation, l'expérimentation ou, dans le cas des mathématiques, déduites d'une base axiomatique donnée : théorie des matrices, des torseurs, des probabilités.
Théorie MLa théorie M est une théorie physique devant unifier les différentes versions de la théorie des supercordes. L'existence de cette théorie fut conjecturée par Edward Witten en 1995, lors d'un colloque sur la théorie des cordes à l'Université de Californie du Sud. Cette annonce engendra un tourbillon de nouvelles recherches, qu'on a appelé la . Selon Witten le M de théorie M peut signifier magie, mystère ou membrane au choix, et le véritable sens ne s'imposera que quand la théorie sera formulée définitivement.
Théorie des ensemblesLa théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du . La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens.
Zariski's main theoremIn algebraic geometry, Zariski's main theorem, proved by , is a statement about the structure of birational morphisms stating roughly that there is only one branch at any normal point of a variety. It is the special case of Zariski's connectedness theorem when the two varieties are birational. Zariski's main theorem can be stated in several ways which at first sight seem to be quite different, but are in fact deeply related.
Cohomologie étaleLa cohomologie étale est la théorie cohomologique des faisceaux associée à la topologie étale. Elle mime le comportement habituel de la cohomologie classique sur des objets mathématiques où celle-ci n'est pas envisageable, en particulier les schémas et les espaces analytiques. La cohomologie étale a été introduite pour les schémas par Alexander Grothendieck et Michael Artin dans SGA 4 et 41⁄2, avec l'objectif de réaliser une cohomologie de Weil et ainsi résoudre les conjectures de Weil, objectif partiellement rempli, plus tard complété par Pierre Deligne avec l'introduction de la cohomologie l-adique.
Théorie des cordesEn physique fondamentale, la théorie des cordes est un cadre théorique dans lequel les particules ponctuelles de la physique des particules sont représentées par des objets unidimensionnels appelés cordes. La théorie décrit comment ces cordes se propagent dans l'espace et interagissent les unes avec les autres. Sur des échelles de distance supérieures à l'échelle de la corde, cette dernière ressemble à une particule ordinaire, avec ses propriétés de masse, de charge et autres, déterminées par l'état vibratoire de la corde.
Théorie des supercordesthumb|Vue d'artiste de la théorie des supercordes. La théorie des supercordes est une tentative pour expliquer l'existence de toutes les particules et forces fondamentales de la nature, en les modélisant comme les vibrations de minuscules cordes supersymétriques. Au début du , elle est considérée comme la plus féconde des théories pour une gravité quantique, même si elle souffre des mêmes défauts que la théorie des cordes en raison de l'impossibilité de la vérifier par l'expérimentation.
Théorie des modèlesLa théorie des modèles est une branche de la logique mathématique qui traite de la construction et de la classification des structures. Elle définit en particulier les modèles des théories axiomatiques, l'objectif étant d'interpréter les structures syntaxiques (termes, formules, démonstrations...) dans des structures mathématiques (ensemble des entiers naturels, groupes, univers...) de façon à leur associer des concepts de nature sémantique (comme le sens ou la vérité).
Caractéristique d'un anneauEn algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro. On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ». La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle.
Théorème fondamental de l'algèbreEn mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur C, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1.
Groupe algébriqueEn géométrie algébrique, la notion de groupe algébrique est un équivalent des groupes de Lie en géométrie différentielle ou complexe. Un groupe algébrique est une variété algébrique munie d'une loi de groupe compatible avec sa structure de variété algébrique. Un groupe algébrique sur un corps (commutatif) K est une variété algébrique sur munie : d'un morphisme de K-variétés algébriques (appelé aussi multiplication) .
Théorie critiqueLa théorie critique est une approche de la philosophie sociale qui vise à analyser la société et la culture en mobilisant les sciences sociales et les humanités afin de révéler et mettre en question les structures de pouvoir. Elle considère que les problèmes sociaux sont créés et influencés davantage par des structures sociétales et des présupposés culturels que par des facteurs individuels ou psychologiques. La théorie critique a été établie comme une école de pensée soutenant que l'idéologie est le principal obstacle à la libération humaine.
Théorèmes d'incomplétude de GödelLes théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert.
