Polynôme formelEn algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Programmation impérativeEn informatique, la programmation impérative est un paradigme de programmation qui décrit les opérations en séquences d'instructions exécutées par l'ordinateur pour modifier l'état du programme. Ce type de programmation est le plus répandu parmi l'ensemble des langages de programmation existants, et se différencie de la programmation déclarative (dont la programmation logique ou encore la programmation fonctionnelle sont des sous-ensembles).
Polynômethumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).
Polynôme non commutatifIn mathematics, especially in the area of abstract algebra known as ring theory, a free algebra is the noncommutative analogue of a polynomial ring since its elements may be described as "polynomials" with non-commuting variables. Likewise, the polynomial ring may be regarded as a free commutative algebra. For R a commutative ring, the free (associative, unital) algebra on n indeterminates {X1,...,Xn} is the free R-module with a basis consisting of all words over the alphabet {X1,...
Differential algebraIn mathematics, differential algebra is, broadly speaking, the area of mathematics consisting in the study of differential equations and differential operators as algebraic objects in view of deriving properties of differential equations and operators without computing the solutions, similarly as polynomial algebras are used for the study of algebraic varieties, which are solution sets of systems of polynomial equations. Weyl algebras and Lie algebras may be considered as belonging to differential algebra.
Boucle whilevignette|Boucle while En programmation, la boucle while, francisée en boucle tant que, est une structure de contrôle permettant d'exécuter un ensemble d'instructions de façon répétée sur la base d'une condition booléenne. La boucle while peut être considérée comme une répétition de l'instruction if. Une boucle while est constituée d’un bloc de code source et d’une condition. À l’exécution, la condition est d’abord évaluée, et si elle est vraie, le bloc de code source est évalué.
Polynôme homogèneEn mathématiques, un polynôme homogène, ou forme algébrique, est un polynôme en plusieurs indéterminées dont tous les monômes non nuls sont de même degré total. Par exemple le polynôme x + 2xy + 9xy est homogène de degré 5 car la somme des exposants est 5 pour chacun des monômes ; les polynômes homogènes de degré 2 sont les formes quadratiques. Les polynômes homogènes sont omniprésents en mathématiques et en physique théorique. Soit K un corps commutatif. Un polynôme homogène de degré d en n variables est un polynôme dans K[X, .
AlgèbreL'algèbre (de l’arabe الجبر, al-jabr) est une branche des mathématiques qui permet d'exprimer les propriétés des opérations et le traitement des équations et aboutit à l'étude des structures algébriques. Selon l’époque et le niveau d’études considérés, elle peut être décrite comme : une arithmétique généralisée, étendant à différents objets ou grandeurs les opérations usuelles sur les nombres ; la théorie des équations et des polynômes ; depuis le début du , l’étude des structures algébriques (on parle d'algèbre générale ou abstraite).
Anneau (mathématiques)vignette|Richard Dedekind - 1870 En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs. Plus précisément, deux définitions sont représentées dans la littérature mathématique, selon la considération d'un élément neutre : la majorité des sources récentes définissent un « anneau » comme un anneau unitaire, avec la multiplication ayant un élément neutre ; tandis que, selon de nombreux ouvrages, la présence d'une unité multiplicative n'est pas requise, et ce type d'anneau est ailleurs dénommé pseudo-anneau.
Boucle forEn informatique, la boucle for est une structure de contrôle de programmation qui permet de répéter l'exécution d'une séquence d'instructions. Selon les langages de programmation, différents mots-clés sont utilisés pour signaler cette structure de contrôle : for pour les descendants d'Algol, do pour FORTRAN, PL/I, etc. Une "boucle for" a deux parties : une entête qui spécifie la manière de faire l'itération, et un corps qui est exécuté à chaque itération. Dans cette forme de boucle, une variable prend des valeurs successives sur un intervalle.
Théorie des invariantsEn mathématiques, la théorie des invariants, initiée et développée en particulier par Arthur Cayley, James Joseph Sylvester, Charles Hermite, Paul Gordan et de nombreux autres mathématiciens, est l'étude des invariants des formes algébriques (de façon équivalente, des tenseurs symétriques) pour les actions de groupe lors des transformations linéaires. À la fin du , elle est au centre d'un important effort de recherche lorsqu'il apparaît qu'elle pourrait être la clé de voûte en algorithmique (en compétition avec d'autres formulations mathématiques de l'invariance de la symétrie).
Structure de contrôleEn programmation informatique, une structure de contrôle est une instruction particulière d'un langage de programmation impératif pouvant dévier le flot de contrôle du programme la contenant lorsqu'elle est exécutée. Si, au plus bas niveau, l'éventail se limite généralement aux branchements et aux appels de sous-programme, les langages structurés offrent des constructions plus élaborées comme les alternatives (if, if–else, switch...), les boucles (while, do–while, for...) ou encore les appels de fonction.
Équation polynomialeEn mathématiques, une équation polynomiale, ou équation algébrique, est une équation de la forme : où P est un polynôme. Voici un exemple d'équation simple avec une seule inconnue : Usuellement, le terme équation polynomiale désigne une équation avec une seule inconnue (notée ici x) : où l'entier naturel n et les , appelés coefficients de l’équation, sont connus. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils peuvent prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau.
Programmation procéduraleEn informatique, la programmation procédurale est un paradigme qui se fonde sur le concept d'appel procédural. Une procédure, aussi appelée routine, sous-routine ou fonction (à ne pas confondre avec les fonctions de la programmation fonctionnelle reposant sur des fonctions mathématiques), contient simplement une série d'étapes à réaliser. N'importe quelle procédure peut être appelée à n'importe quelle étape de l'exécution du programme, y compris à l'intérieur d'autres procédures, voire dans la procédure elle-même (récursivité).
Programmation fonctionnelleLa programmation fonctionnelle est un paradigme de programmation de type déclaratif qui considère le calcul en tant qu'évaluation de fonctions mathématiques. Comme le changement d'état et la mutation des données ne peuvent pas être représentés par des évaluations de fonctions la programmation fonctionnelle ne les admet pas, au contraire elle met en avant l'application des fonctions, contrairement au modèle de programmation impérative qui met en avant les changements d'état.
Polynôme minimal d'un endomorphismeLe polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser en algèbre linéaire des résultats de la théorie des polynômes. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du concept de polynôme d'endomorphisme. Il est défini comme le polynôme unitaire (son coefficient de plus haut degré est égal à 1) de plus petit degré qui annule un endomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.
Fixed-point subringIn algebra, the fixed-point subring of an automorphism f of a ring R is the subring of the fixed points of f, that is, More generally, if G is a group acting on R, then the subring of R is called the fixed subring or, more traditionally, the ring of invariants under G. If S is a set of automorphisms of R, the elements of R that are fixed by the elements of S form the ring of invariants under the group generated by S. In particular, the fixed-point subring of an automorphism f is the ring of invariants of the cyclic group generated by f.
Algèbre enveloppanteEn mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie . Il s'agit d'une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de . Algèbre de Lie Soit K un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Une algèbre de Lie sur K est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire de dans qui vérifie les propriétés suivantes : Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant .
Polynôme irréductibleIn mathematics, an irreducible polynomial is, roughly speaking, a polynomial that cannot be factored into the product of two non-constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the field to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x2 − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients.
Theory of computationIn theoretical computer science and mathematics, the theory of computation is the branch that deals with what problems can be solved on a model of computation, using an algorithm, how efficiently they can be solved or to what degree (e.g., approximate solutions versus precise ones). The field is divided into three major branches: automata theory and formal languages, computability theory, and computational complexity theory, which are linked by the question: "What are the fundamental capabilities and limitations of computers?".
