Théorie des groupesvignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Ernst WittNOTOC Ernst Witt ( à Als - à Hambourg) est un mathématicien allemand. Son père étant missionnaire, il part en Chine pour ne revenir en Europe qu'en 1920. Il étudie à l'université de Fribourg-en-Brisgau. Il s'inscrit aux SA en 1933. En 1936 il obtient, encadré par Emmy Noether à l'université de Göttingen, son doctorat dont le sujet porte sur le théorème de Riemann-Roch. Il enseigne alors jusqu'en 1937 à l'université de Hambourg. Les travaux de Witt portent surtout sur l'algèbre et les formes quadratiques.
Groupe abélienEn mathématiques, plus précisément en algèbre, un groupe abélien (du nom de Niels Abel), ou groupe commutatif, est un groupe dont la loi de composition interne est commutative. Vu autrement, un groupe commutatif peut aussi être défini comme un module sur l'anneau commutatif des entiers relatifs ; l'étude des groupes abéliens apparaît alors comme un cas particulier de la théorie des modules. On sait classifier de façon simple et explicite les groupes abéliens de type fini à isomorphisme près, et en particulier décrire les groupes abéliens finis.
Annulateur (théorie des modules)In mathematics, the annihilator of a subset S of a module over a ring is the ideal formed by the elements of the ring that give always zero when multiplied by each element of S. Over an integral domain, a module that has a nonzero annihilator is a torsion module, and a finitely generated torsion module has a nonzero annihilator. The above definition applies also in the case noncommutative rings, where the left annihilator of a left module is a left ideal, and the right-annihilator, of a right module is a right ideal.
Forme quadratique binaireEn mathématiques, une forme quadratique binaire est une forme quadratique — c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 2 — en deux variables : Les propriétés d'une telle forme dépendent de façon essentielle de la nature des coefficients a, b, c, qui peuvent être par exemple des nombres réels ou rationnels ou, ce qui rend l'étude plus délicate, entiers. Fermat considérait déjà des formes quadratiques binaires entières, en particulier pour son théorème des deux carrés.
Structure algébriqueEn mathématiques, une structure algébrique est définie axiomatiquement par une ou plusieurs opérations sur un ensemble (dites internes), éventuellement muni d’autres opérations (externes) dépendant d’autres ensembles, toutes ces opérations satisfaisant certaines relations telles que l’associativité, la commutativité ou la distributivité. La structure de groupe qui émerge progressivement au , avec une seule opération interne et quelques propriétés se formalise au début du avec une kyrielle de structures d’algèbre générale moins restrictives (monoïde) ou au contraire enrichies par une seconde opération (anneau, corps, algèbre de Boole.
Nil idealIn mathematics, more specifically ring theory, a left, right or two-sided ideal of a ring is said to be a nil ideal if each of its elements is nilpotent. The nilradical of a commutative ring is an example of a nil ideal; in fact, it is the ideal of the ring maximal with respect to the property of being nil. Unfortunately the set of nil elements does not always form an ideal for noncommutative rings. Nil ideals are still associated with interesting open questions, especially the unsolved Köthe conjecture.
Spectre d'anneauEn mathématiques, le spectre premier d'un anneau commutatif unitaire A désigne l'ensemble des idéaux premiers de A. Cet ensemble est muni d'une topologie (de Zariski) et d'un faisceau d'anneaux commutatifs unitaires qui en font un espace topologique annelé en anneaux locaux. Cet espace est alors appelé un schéma affine et il sert d'espace de base pour la construction des schémas en géométrie algébrique. Le spectre d'un anneau commutatif A est l'ensemble de ses idéaux premiers. On le note Spec A.
Primitive idealIn mathematics, specifically ring theory, a left primitive ideal is the annihilator of a (nonzero) simple left module. A right primitive ideal is defined similarly. Left and right primitive ideals are always two-sided ideals. Primitive ideals are prime. The quotient of a ring by a left primitive ideal is a left primitive ring. For commutative rings the primitive ideals are maximal, and so commutative primitive rings are all fields. The primitive spectrum of a ring is a non-commutative analog of the prime spectrum of a commutative ring.
Décomposition primaireLa décomposition primaire est une généralisation de la décomposition d'un nombre entier en facteurs premiers. Cette dernière décomposition, connue depuis Gauss (1832) sous le nom de théorème fondamental de l'arithmétiqueGauss 1832., s'étend naturellement au cas d'un élément d'un anneau principal. Une décomposition plus générale est celle d'un idéal d'un anneau de Dedekind en produit d'idéaux premiers; elle a été obtenue en 1847 par Kummer (dans le formalisme encore peu maniable des « nombres idéaux ») à l'occasion de ses recherches sur le dernier théorème de FermatKummer 1847.
MorphismeEn mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
Minimal idealIn the branch of abstract algebra known as ring theory, a minimal right ideal of a ring R is a non-zero right ideal which contains no other non-zero right ideal. Likewise, a minimal left ideal is a non-zero left ideal of R containing no other non-zero left ideals of R, and a minimal ideal of R is a non-zero ideal containing no other non-zero two-sided ideal of R . In other words, minimal right ideals are minimal elements of the partially ordered set (poset) of non-zero right ideals of R ordered by inclusion.
