Système dynamiqueEn mathématiques, en chimie ou en physique, un système dynamique est la donnée d’un système et d’une loi décrivant l'évolution de ce système. Ce peut être l'évolution d'une réaction chimique au cours du temps, le mouvement des planètes dans le système solaire (régi par la loi universelle de la gravitation de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un programme informatique. Formellement on distingue les systèmes dynamiques à temps discrets (comme un programme informatique) des systèmes dynamiques à temps continu (comme une réaction chimique).
Théorie des systèmes dynamiquesLa théorie des systèmes dynamiques désigne couramment la branche des mathématiques qui s'efforce d'étudier les propriétés d'un système dynamique. Cette recherche active se développe à la frontière de la topologie, de l'analyse, de la géométrie, de la théorie de la mesure et des probabilités. La nature de cette étude est conditionnée par le système dynamique étudié et elle dépend des outils utilisés (analytiques, géométriques ou probabilistes).
Intervalle de confiancevignette|Chaque ligne montre 20 échantillons tirés selon la loi normale de moyenne μ. On y montre l'intervalle de confiance de niveau 50% pour la moyenne correspondante aux 20 échantillons, marquée par un losange. Si l'intervalle contient μ, il est bleu ; sinon il est rouge. En mathématiques, plus précisément en théorie des probabilités et en statistiques, un intervalle de confiance encadre une valeur réelle que l’on cherche à estimer à l’aide de mesures prises par un procédé aléatoire.
Intervalle (musique)En musique, l'intervalle entre deux notes est l'écart entre leurs hauteurs respectives. Cet intervalle est dit harmonique si les deux notes sont simultanées, mélodique si les deux notes sont émises successivement. En acoustique, l'intervalle entre deux sons harmoniques est le rapport de leurs fréquences. Chaque intervalle d'une échelle musicale, elle-même distinctive d'un type de musique (indienne, occidentale, musique orientale, etc.). La perception des intervalles diffère selon les cultures.
Tempsthumb|Chronos, dieu du temps de la mythologie grecque, par Ignaz Günther, Bayerisches Nationalmuseum à Munich. vignette|Montre à gousset ancienne Le temps est une notion qui rend compte du changement dans le monde. Le questionnement s'est porté sur sa « nature intime » : propriété fondamentale de l'Univers, ou produit de l'observation intellectuelle et de la perception humaine. La somme des réponses ne suffit pas à dégager un concept satisfaisant du temps.
Système dynamique mesuréUn système dynamique mesuré est un objet mathématique, représentant un espace de phases muni d'une loi d'évolution, particulièrement étudié en théorie ergodique. Un système dynamique mesuré est la donnée d'un espace probabilisé et d'une application mesurable f : X → X. On exige que f préserve la mesure, ce qui veut dire que : Cette propriété très riche permet d'obtenir de puissants théorèmes. Par ailleurs, un théorème affirme qu'il existe, pour toute transformation continue X → X d'un espace topologique compact X, une mesure de probabilité, borélienne, préservant cette transformation.
Loi binomialeEn théorie des probabilités et en statistique, la loi binomiale modélise la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes. Plus mathématiquement, la loi binomiale est une loi de probabilité discrète décrite par deux paramètres : n le nombre d'expériences réalisées, et p la probabilité de succès. Pour chaque expérience appelée épreuve de Bernoulli, on utilise une variable aléatoire qui prend la valeur 1 lors d'un succès et la valeur 0 sinon.
Variance (mathématiques)vignette|Exemple d'échantillons pour deux populations ayant la même moyenne mais des variances différentes. La population en rouge a une moyenne de 100 et une variance de 100 (écart-type = SD = standard deviation = 10). La population en bleu a une moyenne de 100 et une variance de (écart-type = SD = 50). En statistique et en théorie des probabilités, la variance est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon ou d'une variable aléatoire.
Processus stochastiqueUn processus ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, discrète ou à temps continu, d'une variable aléatoire. Celle-ci intervient dans le calcul classique des probabilités, où elle mesure chaque résultat possible (ou réalisation) d'une épreuve. Cette notion se généralise à plusieurs dimensions. Un cas particulier important, le champ aléatoire de Markov, est utilisé en analyse spatiale.
Inégalité de Bienaymé-TchebychevEn théorie des probabilités, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, est une inégalité de concentration permettant de montrer qu'une variable aléatoire prendra avec une faible probabilité une valeur relativement lointaine de son espérance. Ce résultat s'applique dans des cas très divers, nécessitant la connaissance de peu de propriétés (seules l'espérance et la variance doivent être connues), et permet de démontrer la loi faible des grands nombres.
Loi de PoissonEn théorie des probabilités et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité discrète qui décrit le comportement du nombre d'événements se produisant dans un intervalle de temps fixé, si ces événements se produisent avec une fréquence moyenne ou espérance connue, et indépendamment du temps écoulé depuis l'événement précédent. gauche|vignette|Chewing gums sur un trottoir. Le nombre de chewing gums sur un pavé est approximativement distribué selon une loi de Poisson.
Billard (mathématiques)Un billard mathématique est un système dynamique dans lequel une particule alterne des mouvements libres sur une surface et des rebonds sur une paroi, sans perte de vitesse. L'angle de rebond est identique à l'angle d'incidence au moment de choc. Ces systèmes dynamiques sont des idéalisations hamiltoniennes du jeu de billard, mais où le domaine encadré par la frontière peut avoir d'autres formes qu'un rectangle et même être multidimensionnel. Les billards dynamiques peuvent aussi être étudiés sur des géométries non euclidiennes.
Hadamard's dynamical systemIn physics and mathematics, the Hadamard dynamical system (also called Hadamard's billiard or the Hadamard–Gutzwiller model) is a chaotic dynamical system, a type of dynamical billiards. Introduced by Jacques Hadamard in 1898, and studied by Martin Gutzwiller in the 1980s, it is the first dynamical system to be proven chaotic. The system considers the motion of a free (frictionless) particle on the Bolza surface, i.e, a two-dimensional surface of genus two (a donut with two holes) and constant negative curvature; this is a compact Riemann surface.
Loi du χ²En statistiques et en théorie des probabilités, la loi du centrée (prononcé « khi carré » ou « khi-deux ») avec k degrés de liberté est la loi de la somme de carrés de k lois normales centrées réduites indépendantes. La loi du est utilisée en inférence statistique et pour les tests statistiques notamment le test du χ2. La loi du χ2 non centrée généralise la loi du . Soient k variables aléatoires X, ... , X indépendantes suivant la loi normale centrée et réduite, c'est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1.
Intervalle de fluctuationEn mathématiques, un intervalle de fluctuation, aussi appelé intervalle de pari, permet de détecter un écart important par rapport à la valeur théorique pour une grandeur établie sur un échantillon. C'est un intervalle dans lequel la grandeur observée est censée se trouver avec une forte probabilité (souvent de l'ordre de 95 %). Le fait d'obtenir une valeur en dehors de cet intervalle s'interprète alors en mettant en cause la représentativité de l'échantillon ou la valeur théorique.
Variable aléatoire à densitéEn théorie des probabilités, une variable aléatoire à densité est une variable aléatoire réelle, scalaire ou vectorielle, pour laquelle la probabilité d'appartenance à un domaine se calcule à l'aide d'une intégrale sur ce domaine. La fonction à intégrer est alors appelée « fonction de densité » ou « densité de probabilité », égale (dans le cas réel) à la dérivée de la fonction de répartition. Les densités de probabilité sont les fonctions essentiellement positives et intégrables d'intégrale 1.
12 equal temperament12 equal temperament (12-ET) is the musical system that divides the octave into 12 parts, all of which are equally tempered (equally spaced) on a logarithmic scale, with a ratio equal to the 12th root of 2 ( ≈ 1.05946). That resulting smallest interval, the width of an octave, is called a semitone or half step. Twelve-tone equal temperament is the most widespread system in music today. It has been the predominant tuning system of Western music, starting with classical music, since the 18th century, and Europe almost exclusively used approximations of it for millennia before that.
Échelle des temps géologiquesvignette|droite|Histoire de la Terre cartographiée en 24 heures, avec le découpage des 4 éons. Une échelle des temps géologiques est un système de classement chronologique utilisé, notamment en géologie, pour dater les événements survenus durant l'histoire de la Terre. Si son origine date du , elle prend une forme de datation précise en 1913, lorsque Arthur Holmes, reconnu aujourd'hui comme le père de l'échelle des temps géologiques, publie la première.
Loi de probabilitéthumb|400px 3 répartitions.png En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou infini dénombrable.
Time-scale calculusIn mathematics, time-scale calculus is a unification of the theory of difference equations with that of differential equations, unifying integral and differential calculus with the calculus of finite differences, offering a formalism for studying hybrid systems. It has applications in any field that requires simultaneous modelling of discrete and continuous data. It gives a new definition of a derivative such that if one differentiates a function defined on the real numbers then the definition is equivalent to standard differentiation, but if one uses a function defined on the integers then it is equivalent to the forward difference operator.
