Théorème de modularitéLe théorème de modularité (auparavant appelé conjecture de Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama-Weil ou conjecture de Shimura-Taniyama) énonce que, pour toute courbe elliptique sur Q, il existe une forme modulaire de poids 2 pour un Γ(N), ayant même fonction L que la courbe elliptique. Une grande partie de ce résultat, suffisante pour en déduire le dernier théorème de Fermat, a été démontrée par Andrew Wiles. S'inspirant de ses techniques, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor ont traité les cas restants en 1999.
Conjecture de RamanujanEn mathématiques, la conjecture de Ramanujan, due à Srinivasa Ramanujan (et démontrée par Pierre Deligne en 1973), prédit certaines propriétés arithmétiques ainsi que le comportement asymptotique de la fonction tau qu'il a définie. La conjecture de Ramanujan généralisée, ou conjecture de Ramanujan-Petersson, introduite par Hans Petersson en 1930, en est une généralisation à d'autres formes modulaires ou automorphes.
Siegel modular formIn mathematics, Siegel modular forms are a major type of automorphic form. These generalize conventional elliptic modular forms which are closely related to elliptic curves. The complex manifolds constructed in the theory of Siegel modular forms are Siegel modular varieties, which are basic models for what a moduli space for abelian varieties (with some extra level structure) should be and are constructed as quotients of the Siegel upper half-space rather than the upper half-plane by discrete groups.
Forme automorphedroite|vignette|500x500px|La fonction êta de Dedekind est une forme automorphe dans le plan complexe. Une forme automorphique, en analyse harmonique et théorie des nombres, est une fonction d'un groupe topologique G à valeurs dans le corps des nombres complexes (ou un espace vectoriel complexe) qui est invariante sous l'action d'un sous-groupe discret du groupe topologique et qui vérifie certaines conditions de dérivabilité et de croissance à l'infini.
Forme paraboliqueEn mathématiques, une forme parabolique (parfois appelée forme cuspidale, selon l'anglais cusp form) est une forme modulaire vérifiant des conditions d'annulation aux pointes. La parabole est une des trois coniques (avec l'hyperbole, et l'ellipse dont le cercle peut être considéré comme un cas particulier) découvertes par les mathématiciens grecs en tant qu'intersection d'un cône par un plan (du grec kônos). vignette|302x302px|Équation réduite y2 = 2px, paramètre de la parabole Nom de la fonction associée : trinôme du second degré.
Loi de réciprocité quadratiqueEn mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801.
Résidu quadratiqueEn mathématiques, plus précisément en arithmétique modulaire, un entier naturel q est un résidu quadratique modulo n s'il possède une racine carrée en arithmétique modulaire de module n. Autrement dit, q est un résidu quadratique modulo n s'il existe un entier x tel que : Dans le cas contraire, on dit que q est un non-résidu quadratique modulo n Par exemple : modulo 4, les résidus quadratiques sont les entiers congrus à 2 ≡ 0 = 0 ou à (±1) = 1.
Forme modulaireEn mathématiques, une forme modulaire est une fonction analytique sur le demi-plan de Poincaré satisfaisant à une certaine sorte d'équation fonctionnelle et de condition de croissance. La théorie des formes modulaires est par conséquent dans la lignée de l'analyse complexe mais l'importance principale de la théorie tient dans ses connexions avec le théorème de modularité et la théorie des nombres.
Série de Fouriervignette|250px|Les quatre premières sommes partielles de la série de Fourier pour un signal carré. vignette|250px|Le premier graphe donne l'allure du graphe d'une fonction périodique ; l'histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences. En analyse mathématique, les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques. C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d'analyse harmonique.
Fourier analysisIn mathematics, Fourier analysis (ˈfʊrieɪ,_-iər) is the study of the way general functions may be represented or approximated by sums of simpler trigonometric functions. Fourier analysis grew from the study of Fourier series, and is named after Joseph Fourier, who showed that representing a function as a sum of trigonometric functions greatly simplifies the study of heat transfer. The subject of Fourier analysis encompasses a vast spectrum of mathematics.
Transformation de Fourierthumb|Portrait de Joseph Fourier. En mathématiques, plus précisément en analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série de Fourier des fonctions périodiques. La transformation de Fourier associe à toute fonction intégrable définie sur R et à valeurs réelles ou complexes, une autre fonction sur R appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.
Srinivasa Ramanujanvignette|thumbtime=566|start=567|end=610|alt=documentaire indien en anglais|upright=1.5|Extrait de Srinivasa Ramanujan- The Mathematician & His Legacy (Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage), un documentaire produit par le Ministère des Affaires étrangères de l'Inde ; on y voit les cahiers de Ramanujan, conservés à l'université de Madras. Srinivasa Ramanujan (en tamoul : சீனிவாச இராமானுஜன் ; ), né le à Erode et mort le à Kumbakonam, est un mathématicien indien.
Gorō ShimuraGorō Shimura (japonais : 志村 五郎 Shimura Gorō), né le à Hamamatsu et mort le , est un mathématicien japonais naturalisé américain. Il termine comme professeur émérite de mathématiques (l'ancienne chaire Michael Henry Strater Chair) à l'université de Princeton. Il est connu d'un plus large public par la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, qui est reliée au dernier théorème de Fermat et qui a été démontrée par Andrew Wiles, après onze ans de travaux, en 1995. It is published from Iwanami Shoten in Japan.
J-invariantLe j-invariant, parfois appelé fonction j, est une fonction introduite par Felix Klein pour l'étude des courbes elliptiques, qui a depuis trouvé des applications au-delà de la seule géométrie algébrique, par exemple dans l'étude des fonctions modulaires, de la théorie des corps de classes et du monstrous moonshine. On travaille dans le . Soient quatre points distincts , leur birapport est : Cette quantité est invariante par homographies du plan, mais dépend de l'ordre des quatre nombres considérés.
Quadratic fieldIn algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square-free integer different from and . If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers.
Symbole de LegendreEn théorie des nombres, le symbole de Legendre est une fonction de deux variables entières à valeurs dans {–1, 0, 1}, qui caractérise les résidus quadratiques. Il a été introduit par Adrien-Marie Legendre, au cours de ses efforts pour démontrer la loi de réciprocité quadratique. Il ne dépend donc que de la classe de a modulo p. Le cas particulier p = 2 est inclus dans cette définition mais sans intérêt : vaut 0 si a est pair et 1 sinon.
Transformation de Fourier discrèteEn mathématiques, la transformation de Fourier discrète (TFD) sert à traiter un signal numérique. Elle constitue un équivalent discret (c'est-à-dire pour un signal défini à partir d'un nombre fini d'échantillons) de la transformation de Fourier (continue) utilisée pour traiter un signal analogique. Plus précisément, la TFD est la représentation spectrale discrète dans le domaine des fréquences d'un signal échantillonné. La transformation de Fourier rapide est un algorithme particulier de calcul de la transformation de Fourier discrète.
Forme quadratique binaireEn mathématiques, une forme quadratique binaire est une forme quadratique — c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 2 — en deux variables : Les propriétés d'une telle forme dépendent de façon essentielle de la nature des coefficients a, b, c, qui peuvent être par exemple des nombres réels ou rationnels ou, ce qui rend l'étude plus délicate, entiers. Fermat considérait déjà des formes quadratiques binaires entières, en particulier pour son théorème des deux carrés.
Théorème central limitethumb|upright=2|La loi normale, souvent appelée la « courbe en cloche ». Le théorème central limite (aussi appelé théorème limite central, théorème de la limite centrale ou théorème de la limite centrée) établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme qu'une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend (le plus souvent) vers une variable aléatoire gaussienne.
Pierre DelignePierre René, vicomte Deligne est un mathématicien belge, né le à Etterbeek dans la Région de Bruxelles-Capitale. Pierre René Deligne est diplômé de l'Université libre de Bruxelles en 1966, en ayant effectué une année de scolarité à l’école normale supérieure en 1965-1966. Il soutient une première thèse de doctorat en 1968 à Bruxelles. De 1968 à 1984, il est membre de l’Institut des hautes études scientifiques, où il assiste aux séminaires d’Alexandre Grothendieck qu'il appelle son « maître ».
