Publication

Structure and arithmetic complexity of products and inverses of Toeplitz matrices

Martin Vetterli
1991
Journal Articles

Résumé

We derive a formula for the product of two Toeplitz matrices that is similar to the Trench formula for the inverse of a Toeplitz matrix. We then derive upper and lower bounds for number of multiplications required to compute the inverse or the product of Toeplitz matrices and consider several special cases, e.g., symmetry, as well. The lower bounds for the general cases are in agreement with earlier results, but the specialized lower bounds and all the upper bounds are new. Both upper and lower bounds are O(n2) and differ only in lower order terms.

Source officielle

https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/338dcd18-bfb9-4193-b6fd-6e0b60c6bd66

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Concepts associés (32)

Matrice de Toeplitz

En algèbre linéaire, une matrice de Toeplitz (d'après Otto Toeplitz) ou matrice à diagonales constantes est une matrice dont les coefficients sur une diagonale descendant de gauche à droite sont les mêmes. Par exemple, la matrice suivante est une matrice de Toeplitz : Toute matrice A à n lignes et n colonnes de la forme est une matrice de Toeplitz. Si l'élément situé à l’intersection des ligne i et colonne j de A est noté Ai,j, alors on a : En général, une équation matricielle correspond à un système de n équations linéaires à résoudre.

Matrice par blocs

vignette|Un matrice présente une structure par blocs si l'on peut isoler les termes non nuls dans des sous-matrices (ici la structure « diagonale par blocs » d'une réduite de Jordan). On appelle matrice par blocs une matrice divisée en blocs à partir d'un groupement quelconque de termes contigus de sa diagonale. Chaque bloc étant indexé comme on indicerait les éléments d'une matrice, la somme et le produit de deux matrices partitionnées suivant les mêmes tailles de bloc, s'obtiennent avec les mêmes règles formelles que celles des composantes (mais en veillant à l'ordre des facteurs dans les produits matriciels!).

Élément symétrique

En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication. Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne admettant un élément neutre . Soient deux éléments et de E. Si , est dit élément symétrique à gauche de et est dit élément symétrique à droite de . Si , est dit élément symétrique de .

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