Courburevignette|Le déplacement d'une Dictyostelium discoideum dont la couleur du contour est fonction de la courbure. Échelle : 5 μm ; durée : 22 secondes. Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple : dans le plan euclidien, une ligne droite est un objet à une dimension de courbure nulle et un cercle un objet de courbure constante positive, valant 1/R (inverse du rayon) ; dans l'espace euclidien usuel à trois dimensions, un plan est un objet à deux dimensions de courbure nulle, et une sphère est un objet à deux dimensions de courbure constante positive.
Differentiable curveDifferential geometry of curves is the branch of geometry that deals with smooth curves in the plane and the Euclidean space by methods of differential and integral calculus. Many specific curves have been thoroughly investigated using the synthetic approach. Differential geometry takes another path: curves are represented in a parametrized form, and their geometric properties and various quantities associated with them, such as the curvature and the arc length, are expressed via derivatives and integrals using vector calculus.
Courbe algébriqueEn mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, une courbe algébrique est une variété algébrique (ou un schéma de type fini) sur un corps, dont les composantes irréductibles sont de dimension 1. Cette définition est la généralisation moderne de celle des courbes algébriques classiques, telles que les coniques, définies, dans le cas des courbes planes, comme l'ensemble des points solutions d'une équation polynomiale. Sous sa forme la plus générale, une courbe algébrique sur un corps est une variété algébrique de dimension 1 sur , séparée pour éviter des pathologies.
CourbeEn mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe, ou ligne courbe, est un objet du plan ou de l'espace usuel, similaire à une droite mais non nécessairement linéaire. Par exemple, les cercles, les droites, les segments et les lignes polygonales sont des courbes. La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de .
Courbe remplissanteEn analyse mathématique, une courbe remplissante (parfois appelée courbe de remplissage) est une courbe dont l' contient le carré unité entier (ou plus généralement un hypercube de dimension n). En raison du fait que le mathématicien Giuseppe Peano (1858–1932) a été le premier à découvrir dans le plan (en dimension 2) une telle courbe, les courbes remplissantes sont parfois appelées courbes de Peano, mais cette dénomination fait maintenant référence à la courbe de Peano qui désigne cet exemple spécifique de courbe remplissante découvert par Peano.
Courbure de Gaussvignette|De gauche à droite : une surface de courbure de Gauss négative (un hyperboloïde), une surface de courbure nulle (un cylindre), et une surface de courbure positive (une sphère). vignette|Certains points du tore sont de courbure positive (points elliptiques) et d'autres de courbure négative (points hyperboliques) La courbure de Gauss, parfois aussi appelée courbure totale, d'une surface paramétrée X en X(P) est le produit des courbures principales. De manière équivalente, la courbure de Gauss est le déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.
Courbure scalaireEn géométrie riemannienne, la courbure scalaire (ou scalaire de Ricci) est un des outils de mesure de la courbure d'une variété riemannienne. Cet invariant riemannien est une fonction qui affecte à chaque point m de la variété un simple nombre réel noté R(m) ou s(m), portant une information sur la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Ainsi, on peut décrire le comportement infinitésimal des boules et des sphères centrées en m à l'aide de la courbure scalaire.
Espace LpEn mathématiques, un espace L est un espace vectoriel de classes des fonctions dont la puissance d'exposant p est intégrable au sens de Lebesgue, où p est un nombre réel strictement positif. Le passage à la limite de l'exposant aboutit à la construction des espaces L de fonctions bornées. Les espaces L sont appelés espaces de Lebesgue. Identifiant les fonctions qui ne diffèrent que sur un ensemble négligeable, chaque espace L est un espace de Banach lorsque l'exposant est supérieur ou égal à 1.
Tenseur de RicciDans le cadre de la relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Celle-ci est exprimée à l'aide du tenseur de Ricci. Le tenseur de Ricci est un champ tensoriel d'ordre 2, obtenu comme la trace du tenseur de courbure complet. On peut le considérer comme le laplacien du tenseur métrique riemannien dans le cas des variétés riemaniennes. Le tenseur de Ricci occupe une place importante notamment dans l'équation d'Einstein, équation principale de la relativité générale.
Arc de cerclethumb|Un arc de cercle (parme) de rayon R et de longueur d, avec son angle au centre α, sa corde 2c et sa flèche t Un arc de cercle est une portion de cercle limitée par deux points. Deux points A et B d'un cercle découpent celui-ci en deux arcs. Quand les points ne sont pas diamétralement opposés, l'un des arcs est plus petit qu'un demi-cercle et l'autre plus grand qu'un demi-cercle. Le plus petit des arcs est, en général, noté et l'autre parfois noté . On considère un cercle de centre O, et un arc d'extrémités A et B.
Espace de SobolevEn analyse mathématique, les espaces de Sobolev sont des espaces fonctionnels particulièrement adaptés à la résolution des problèmes d'équation aux dérivées partielles. Ils doivent leur nom au mathématicien russe Sergueï Lvovitch Sobolev. Plus précisément, un espace de Sobolev est un espace vectoriel de fonctions muni de la norme obtenue par la combinaison de la norme L de la fonction elle-même et de ses dérivées jusqu'à un certain ordre. Les dérivées sont comprises dans un sens faible, au sens des distributions afin de rendre l'espace complet.
Contact (géométrie)vignette|La courbe est tangente au cercle. En géométrie différentielle, la notion de contact approfondit l'étude de la tangence, en déterminant des cas particuliers pour lesquels deux courbes s'épousent plus fortement au voisinage du point de contact. On définit ainsi une échelle d'ordres de contact de plus en plus forts et de plus en plus rares. La tangence est un contact d'ordre au moins 1 ; quand le contact est d'ordre au moins 2, on parle de courbes osculatrices, puis surosculatrices pour un contact d'ordre encore supérieur.
Rayon de la Terrevignette|upright=0.7|Rayon de la Terre (en jaune) en fonction de la latitude (φ) comparé à la distance perpendiculaire entre l'axe de rotation de la Terre et la surface (en bleu). Le rayon de la Terre ( ou ) est la distance entre le centre de la Terre et sa surface, d'une valeur d'environ selon divers modèles sphériques. Cette unité de longueur est utilisée dans des domaines tels l'astronomie et la géologie. La Terre n'est pas parfaitement sphérique et les distances entre sa surface et son centre varient de (fond de l'océan Arctique) à (sommet du Chimborazo).
Curvature of Riemannian manifoldsIn mathematics, specifically differential geometry, the infinitesimal geometry of Riemannian manifolds with dimension greater than 2 is too complicated to be described by a single number at a given point. Riemann introduced an abstract and rigorous way to define curvature for these manifolds, now known as the Riemann curvature tensor. Similar notions have found applications everywhere in differential geometry of surfaces and other objects. The curvature of a pseudo-Riemannian manifold can be expressed in the same way with only slight modifications.
Courbe de PeanoEn mathématiques, la courbe de Peano est le premier exemple découvert de courbe remplissante, c'est-à-dire une courbe plane paramétrée par une fonction continue sur l'intervalle unité [0, 1] et surjective dans le carré [0, 1]×[0, 1] ; autrement dit, la courbe passe par chaque point du carré : elle « remplit l'espace ». En particulier, la courbe de Peano est une fractale : bien que formée d'une simple ligne, elle est de dimension 2. Cette courbe est nommée en l'honneur de Giuseppe Peano qui l'a découverte.
Cercle osculateurdroite|vignette|upright=1.3|Au point M de la courbe rouge, le cercle osculateur (en pointillés) approche mieux la courbe qu'un cercle tangent quelconque (passant par N). Son centre O et son rayon R sont le centre de courbure et le rayon de courbure de la courbe en M. En géométrie différentielle, le cercle osculateur ou cercle de courbure en un point d'une courbe est un objet permettant la description locale de cette courbe.
Distance du grand cercleLa distance du grand cercle, également appelée distance orthodromique, est la plus courte distance entre deux points sur une sphère. La surface de la Terre étant approximativement sphérique, la distance du grand cercle est généralement employée pour mesurer la distance entre deux points à sa surface, à partir de leur longitude et leur latitude. R est le rayon de la sphère (le rayon de la Terre vaut environ ). δ est la latitude (en radians). λ est la longitude (en radians). Sur une sphère de rayon R, la dist
CercleEn géométrie euclidienne, un cercle est une courbe plane fermée constituée de points situés à égale distance d'un point nommé centre. Cette distance est appelée rayon du cercle. Dans le plan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelé sphère.
Constant curvatureIn mathematics, constant curvature is a concept from differential geometry. Here, curvature refers to the sectional curvature of a space (more precisely a manifold) and is a single number determining its local geometry. The sectional curvature is said to be constant if it has the same value at every point and for every two-dimensional tangent plane at that point. For example, a sphere is a surface of constant positive curvature.
Coordonnées sphériquesvignette|Illustration de la convention de l'article. La position du point P est définie par la distance et par les angles (colatitude) et (longitude).|alt= On appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées orthogonales de l'espace analogues aux coordonnées polaires du plan. Un point de l'espace est repéré dans ces systèmes par la distance à une origine (le pôle) et par deux angles. Ils sont d'emploi courant pour le repérage géographique : l'altitude, la latitude et la longitude sont une variante de ces coordonnées.
