Publication

On linear and quadratic Lipschitz bounds for twice continuously differentiable functions

Dominique Bonvin, Grégory François
2014
Working Papers

Résumé

Lower and upper bounds for a given function are important in many mathematical and engineering contexts, where they often serve as a base for both analysis and application. In this short paper, we derive piecewise linear and quadratic bounds that are stated in terms of the Lipschitz constants of the function and the Lipschitz constants of its partial derivatives, and serve to bound the function's evolution over a compact set. While the results follow from basic mathematical principles and are certainly not new, we present them as they are, from our experience, very difficult to find explicitly either in the literature or in most analysis textbooks.

Source officielle

https://infoscience.epfl.ch/entities/publication/265e18ea-a0ac-46e1-b8e0-fd36b34c680a

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Mathématiques

thumb|upright|Raisonnement mathématique sur un tableau. Les mathématiques (ou la mathématique) sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les ensembles mathématiques, les nombres, les formes, les structures, les transformations ; ainsi qu'aux relations et opérations mathématiques qui existent entre ces objets. Elles sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Dérivée

En mathématiques, la dérivée d'une fonction d'une variable réelle mesure l'ampleur du changement de la valeur de la fonction (valeur de sortie) par rapport à un petit changement de son argument (valeur d'entrée). Les calculs de dérivées sont un outil fondamental du calcul infinitésimal. Par exemple, la dérivée de la position d'un objet en mouvement par rapport au temps est la vitesse (instantanée) de l'objet. La dérivée d'une fonction est une fonction qui, à tout nombre pour lequel admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.

Dérivabilité

Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point a quand elle admet une dérivée finie en a, c'est-à-dire, intuitivement, quand elle peut être approchée de manière assez fine par une fonction affine au voisinage de a. Elle est dérivable sur un intervalle réel ouvert non vide si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle. Elle est dérivable sur un intervalle réel fermé et borné (c'est-à-dire sur un segment réel) non réduit à un point si elle est dérivable sur l'intérieur de cet intervalle et dérivable à droite en sa borne gauche, et dérivable à gauche en sa borne droite.

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