Inversion du Couronnement du Brouillon des Rencontres d'un Cône avec un Plan de Desargues

Desargues couronne son Brouillon … des Rencontres d’un Cône avec un Plan en indiquant où se placer et comment orienter son tableau, si l’on veut que 2 point arbitraires apparaissent l’un au centre, l’autre à l’un des foyers de l’image d’une conique. Or sa remarquable démonstration fait appel à une bonne demi-douzaine d’involutions dont deux suffisent à répondre à un besoin plus élémentaire qu’a éludé Desargues. L’observateur et son tableau ayant pris place, comment construire la conique image d’une conique objet? Par construction, on entend, ici, la détermination du centre et des axes de la conique image, question fondamentale dont nous examinerons l’évolution des réponses d’Apollonius à François Blondel, en passant par Pappus et Commandino. C’est que d’avoir négligé de répondre à ce besoin élémentaire, Desargues mettait en cause le projet même de sa nouvelle géométrie, à savoir: de fournir des méthodes communes à la perspective, à la taille de la pierre ainsi qu’à la construction de cadrans solaires. Bref, une histoire de rendez-vous manqués.

Précisons d’emblée que dans ce texte, le mot “inversion” n’est pas utilisé dans son sens mathématique, mais dans son sens commun, à savoir: le fait d’inverser la démarche de Desargues. Plutôt que de déduire les lieux des observateurs et des tableaux pour lesquels deux points arbitraires viendront l’un au centre et l’autre au foyer de l’image d’un conique objet, nous nous donnerons au départ les positions de l’observateur et du tableau en même temps que celle de la conique objet, afin d’en déduire ensuite les points objet dont les images seront le centre et un des foyers de la conique image.