Variété (algèbre)En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe). Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées : (x * y) * z = x * (y * z) x * e = x e * x = x De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde.
Noyau (théorie des catégories)La théorie des catégories est une théorie unificatrice des Mathématiques. La notion de noyau est une notion centrale en algèbre. Ici, le concept de noyau est un concept général applicable à de nombreuses branches des mathématiques abstraites. Considérons dans une catégorie deux flèches et de même source et de même but . Une flèche de but est dite noyau ou égalisateur du couple si elle vérifie les deux propriétés suivantes : (1) On a uk=vk (2) Pour toute flèche telle que l'on ait , il existe une flèche unique telle que .
Quasi-catégorieEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une quasi-catégorie est une généralisation de la notion de catégorie. L'étude de telles généralisations est connue sous le nom de théorie des catégories supérieures. Les quasi-catégories ont été introduites par et Vogt en 1973. André Joyal a fait beaucoup progresser l'étude des quasi-catégories en montrant qu’il existe un analogue pour les quasi-catégories de la plupart des notions de base de la théorie des catégories et même de certaines notions et théorèmes d’un niveau plus avancé.
Catégorie des petites catégoriesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des petites catégories, notée Cat, est la catégorie dont les objets sont les petites catégories et dont les morphismes sont les foncteurs entre petites catégories. Cat peut en fait être considérée comme une 2-catégorie, les transformations naturelles servant de 2-morphismes. L'objet initial de Cat est la catégorie vide 0, qui est la catégorie sans objets et sans morphismes. L'objet final est la catégorie finale ou catégorie triviale 1 ayant un seul objet et un seul morphisme.
Comma categoryIn mathematics, a comma category (a special case being a slice category) is a construction in . It provides another way of looking at morphisms: instead of simply relating objects of a to one another, morphisms become objects in their own right. This notion was introduced in 1963 by F. W. Lawvere (Lawvere, 1963 p. 36), although the technique did not become generally known until many years later. Several mathematical concepts can be treated as comma categories. Comma categories also guarantee the existence of some s and colimits.
Schéma (géométrie algébrique)En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'unicité des points génériques et le fait d'autoriser des équations à coefficients dans un anneau commutatif quelconque.
Catégorie préabélienneEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, une catégorie préabélienne est une catégorie additive qui contient tous les noyaux et conoyaux. De manière plus détaillée, cela signifie qu'une catégorie C est pré-abélienne si: C est préadditive, c'est-à-dire enrichie sur une catégorie monoïdale de groupes abéliens (de manière équivalente, toutes les collections de morphismes d'un objet de C vers un objet de C sont des groupes abéliens et une composition de morphismes est bilinéaire) C contient tous les produits finis (de manière équivalente, tous les coproduits finis).
Catégorie des modulesEn mathématiques, la catégorie des modules sur un monoïde R est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées dans l'étude des modules sur un anneau, en les généralisant. L'étude de catégories de modules apparaît naturellement en théorie des représentations et en géométrie algébrique. Puisqu'un R-module est un espace vectoriel lorsque R est un corps commutatif, on peut dans un tel cas identifier la catégorie des modules sur R à la sur le corps R.
Variété algébriqueUne variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques. Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés.
Catégorie des anneauxEn mathématiques, la catégorie des anneaux est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés des anneaux en algèbre. Dans ce contexte, « anneau » signifie toujours anneau unitaire. La catégorie des anneaux, notée Ring, est la catégorie définie ainsi : Les objets sont les anneaux ; Les morphismes sont les morphismes d'anneaux, avec la composition usuelle, et l'identité est la fonction identité sur un anneau donné. La sous-catégorie pleine de Ring, dont les objets sont les anneaux commutatifs, forme la catégorie des anneaux commutatifs, notée CRing.
Semi-simplicityIn mathematics, semi-simplicity is a widespread concept in disciplines such as linear algebra, abstract algebra, representation theory, , and algebraic geometry. A semi-simple object is one that can be decomposed into a sum of simple objects, and simple objects are those that do not contain non-trivial proper sub-objects. The precise definitions of these words depends on the context. For example, if G is a finite group, then a nontrivial finite-dimensional representation V over a field is said to be simple if the only subrepresentations it contains are either {0} or V (these are also called irreducible representations).
