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Fonctions arithmétiques : fonctions multiplicatives et convolution de Dirichlet

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Dans cours

MATH-313: Number theory I.b - Analytic number theory

The aim of this course is to present the basic techniques of analytic number theory. ...

Description

Cette séance de cours présente les fonctions arithmétiques, couvrant des sujets tels que les fonctions multiplicatives, la convolution de Dirichlet, l'inversion des fonctions arithmétiques et la définition de la fonction de Mobius. Il explique les propriétés et la notation liées aux fonctions arithmétiques, en soulignant leur importance dans la théorie des nombres.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Théorie des nombres: Théorie des nombres

Concepts associés (32)

Fonction arithmétique

En théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par N*. Les fonctions arithmétiques les plus étudiées sont les fonctions additives et les fonctions multiplicatives. Une opération importante sur les fonctions arithmétiques est le produit de convolution de Dirichlet.

Fonction de Möbius

En mathématiques, la fonction de Möbius désigne généralement une fonction multiplicative particulière, définie sur les entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble {–1, 0, 1}. Elle intervient dans la formule d'inversion de Möbius. Elle est utilisée dans des branches différentes des mathématiques. Vue sous un angle élémentaire, la fonction de Möbius permet certains calculs de dénombrement, en particulier pour l'étude des p-groupes ou en théorie des graphes.

Fonction multiplicative

En arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : N* → C vérifiant les deux conditions suivantes : f(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b). Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant : g(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b). Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.

Fonction complètement multiplicative

En théorie des nombres, les fonctions définies sur l'ensemble des entiers naturels non nuls et qui respectent les produits sont appelées fonctions complètement multiplicatives ou fonctions totalement multiplicatives. Elles font partie des fonctions multiplicatives, qui ne respectent que les produits de nombres premiers entre eux. En dehors de la théorie des nombres, le terme « fonction multiplicative » est souvent considéré comme synonyme de « fonction complètement multiplicative » tel que défini dans cet article.

Prime omega function

In number theory, the prime omega functions and count the number of prime factors of a natural number Thereby (little omega) counts each distinct prime factor, whereas the related function (big omega) counts the total number of prime factors of honoring their multiplicity (see arithmetic function). That is, if we have a prime factorization of of the form for distinct primes (), then the respective prime omega functions are given by and . These prime factor counting functions have many important number theoretic relations.

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Formule d'inversion de Möbius

Couvre la formule d'inversion de Möbius et sa preuve, y compris le changement de variables en somme.

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Lacunes principales et inégalités de tamisage multiplicatifs

Couvre le théorème de Bombieri-Vinogradov et ses implications pour les écarts premiers et les inégalités de tamis multiplicatives.

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