Géométrie hyperboliqueEn mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée auparavant géométrie de Lobatchevski, lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats d’Euclide, mais pour laquelle le cinquième postulat, qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une droite passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèle
Géométrie non euclidienneLa géométrie non euclidienne (GNE) est, en mathématiques, une théorie géométrique ayant recours aux axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments, sauf le postulat des parallèles. Les différentes géométries non euclidiennes sont issues initialement de la volonté de démontrer la proposition du cinquième postulat, qui apparaissait peu satisfaisant en tant que postulat car trop complexe et peut-être redondant avec les autres postulats).
Géométrie elliptiqueUne géométrie elliptique est une géométrie non euclidienne. Les axiomes sont identiques à ceux de la géométrie euclidienne à l'exception de l'axiome des parallèles : en géométrie elliptique, étant donné une droite et un point extérieur à cette droite, il n'existe aucune droite parallèle à cette droite passant par ce point. Il est équivalent de dire que la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à .
Géométrie projectiveEn mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale. Le mathématicien et architecte Girard Desargues fonde la géométrie projective dans son Brouillon project d’une Atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan publié en 1639, où il l'utilise pour une théorie unifiée des coniques.
Géométrie analytiqueLa géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle les objets sont décrits par des équations ou des inéquations à l'aide d'un système de coordonnées. Elle est fondamentale pour la physique et l'infographie. En géométrie analytique, le choix d'un repère est indispensable. Tous les objets seront décrits relativement à ce repère. Repérage dans le plan et dans l'espace Le terme de géométrie analytique, par opposition à la géométrie synthétique, se réfère aux méthodes d'analyse et synthèse pratiquées par les géomètres grecs.
Dualité (géométrie projective)La dualité projective, découverte par Jean-Victor Poncelet, est une généralisation de l'analogie entre le fait que par deux points distincts passe une droite et une seule, et le fait que deux droites distinctes se coupent en un point et un seul (à condition de se placer en géométrie projective, de sorte que deux droites parallèles se rencontrent en un point à l'infini).
GéométrieLa géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne ). Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique.
Géométrie euclidienneLa géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Les notions de droite, de plan, de longueur, d'aire y sont exposées et forment le support des cours de géométrie élémentaire. La conception de la géométrie est intimement liée à la vision de l'espace physique ambiant au sens classique du terme.
Géométrie absolueLa géométrie absolue (parfois appelée géométrie neutre) est une géométrie basée sur le système d'axiomes de la géométrie euclidienne, privé de l'axiome des parallèles ou de sa négation. Elle est formée des résultats qui sont vrais à la fois en géométrie euclidienne et en géométrie hyperbolique, parfois énoncés sous une forme affaiblie par rapport à l'énoncé euclidien traditionnel. La géométrie absolue fut introduite (sous ce nom) par János Bolyai en 1832 ; le terme de géométrie neutre (sous-entendu par rapport à l'axiome des parallèles) lui a été parfois préféré, pour éviter de donner l'impression que toute autre géométrie en découle.
Espace projectifEn mathématiques, un espace projectif est le résultat d'une construction fondamentale qui consiste à rendre homogène un espace vectoriel, autrement dit à raisonner indépendamment des proportionnalités pour ne plus considérer que des directions. Par exemple, l'espace projectif réel de dimension n, P(R),ou RPn, est l'ensemble des droites vectorielles ou des directions de R ; formellement, c'est le quotient de R{0} par la relation d'équivalence de colinéarité. On peut munir ces espaces projectifs de structures additionnelles pour en faire des variétés.
Sphèrevignette|Rendu en fil de fer d'une sphère dans un espace euclidien. En géométrie dans l'espace, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance au centre est le rayon de la sphère. La géométrie sphérique est la science qui étudie les propriétés des sphères. La surface de la Terre peut, en première approximation, être modélisée par une sphère dont le rayon est d'environ .
Trigonométrie sphériqueLa trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère. La figure de base est le triangle sphérique, délimité non plus par des segments de droites mais par des arcs de demi-grands cercles de cette sphère. Les règles habituelles de la trigonométrie euclidienne ne sont pas applicables ; par exemple la somme des angles d'un triangle situé sur une sphère, s'ils sont exprimés en degrés, est supérieure à 180 degrés.
Parallélisme (géométrie)En géométrie affine, le parallélisme est une propriété relative aux droites, aux plans ou plus généralement aux sous-espaces affines. La notion de parallélisme a été initialement formulée par Euclide dans ses Éléments, mais sa présentation a évolué dans le temps, passant d'une définition axiomatique à une simple définition. La notion de parallélisme est introduite dans le Livre I des Éléments d'Euclide. Pour Euclide, une droite s'apparente plutôt à un segment.
Géométrie sphériqueLa géométrie sphérique est une branche de la géométrie qui s'intéresse à la surface bidimensionnelle d'une sphère. C'est un exemple de géométrie non euclidienne. En géométrie plane, les concepts de base sont les points et les droites. Sur une surface plus générale, les points gardent leur sens usuel ; par contre, les équivalents des droites sont définies comme les lignes matérialisant le chemin le plus court entre les points, qu'on appelle des géodésiques.
Secteur sphériqueEn géométrie, un secteur sphérique est une portion de sphère - plus exactement de boule - délimitée par un demi-cône de révolution dont le sommet coïncide avec le centre de la sphère. C'est un solide de révolution dont la frontière est constituée d'une portion de cône et d'une calotte sphérique. Plus précisément, le demi-cône découpe dans la boule deux solides, l'un, convexe, dont le volume est inférieur à une demi-boule est appelé secteur mineur, l'autre est appelé secteur majeur.
Triangle hyperboliquedroite|vignette|250x250px| Un triangle hyperbolique sur une surface en selle de cheval. Un triangle hyperbolique est, en géométrie hyperbolique, un triangle dans le plan hyperbolique. Comme en géométrie plane, un triangle est constitué de trois segments (ses côtés) reliant trois points (ses sommets). Tout comme dans le cas euclidien, trois points d'un espace hyperbolique de dimension quelconque sont toujours coplanaires. Il suffit donc de caractériser les triangles dans le plan hyperbolique pour en avoir une description dans tous les espaces hyperboliques de dimensions supérieures.
Segment sphériqueEn géométrie, un segment sphérique est le solide défini en coupant une boule avec une paire de plans parallèles. La surface du segment sphérique à l'exclusion des bases est appelée zone sphérique. Le segment sphérique est donc la partie de l’espace limitée par une zone sphérique et deux disques. Si le rayon de la sphère est appelé R, les rayons des bases des segments sphériques sont r1 et r2 et la hauteur du segment sphérique (la distance d'un plan parallèle à l'autre) appelée h, alors le volume du segment sphérique est : Lorsqu'un des plans est tangent à la sphère, on parle de segment sphérique à une base.
Axiome des parallèlesL’axiome d'Euclide, dit également cinquième postulat d’Euclide, est dû au savant grec Euclide (). C'est un axiome relatif à la géométrie du plan. La nécessité de cet axiome a constitué la question la plus lancinante de toute l'histoire de la géométrie, et il a fallu plus de deux millénaires de débats ininterrompus pour que la communauté scientifique reconnaisse l'impossibilité de le réduire au statut de simple théorème. vignette|Illustration de l'axiome d'Euclide : La droite S détermine les angles internes α et β avec les droites g et h.
Plan projectifEn mathématiques, la notion de plan projectif a deux sens distincts, suivant que l'approche est algébrique ou par les axiomes d'incidence entre pointe et droites, l'approche axiomatique donnant une notion qui s'avère un peu plus générale que l'approche algébrique. Un plan projectif en géométrie algébrique est une variété particulière : l'espace projectif de dimension 2. On peut associer un plan projectif à tout corps commutatif (corps des réels, corps des complexes, corps finis) ou non commutatif (quaternions.
Calotte sphériquethumb|Une sphère et les deux calottes sphériques découpées par un plan En géométrie, une calotte sphérique est une portion de sphère délimitée par un plan. C'est un cas particulier de zone sphérique. Lorsque le plan passe par le centre de la sphère, on obtient un hémisphère. Cette surface de révolution sert de délimitant à deux types de solides : le secteur sphérique, portion de boule découpée par un cône le segment sphérique à une base, portion de boule découpée par un plan.
