Partie génératrice d'un groupeEn théorie des groupes, une partie génératrice d'un groupe est une partie A de ce groupe telle que tout élément du groupe s'écrit comme produit d'un nombre fini d'éléments de A et de leurs inverses. Un groupe est dit de type fini lorsqu'il admet une partie génératrice finie. Un groupe engendré par un seul élément est isomorphe soit au groupe additif des entiers relatifs (Z, +), soit à un groupe additif de classes modulo n (Z/nZ, +) ; on dit que c'est un groupe monogène.
Anneau quotientEn mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).
Produit d'anneauxEn algèbre générale, il est possible de combiner plusieurs anneaux pour former un anneau appelé anneau produit. Cette construction peut se faire de la manière suivante : si (Ai) est une famille d'anneaux, le produit cartésien Π Ai peut être muni d'une structure d'anneau en définissant les opérations composante par composante, i.e. (ai) + (bi) = (ai + bi) (ai) · (bi) = (ai · bi) 1 = (1) À la place de Π1≤i≤k Ai nous pouvons aussi écrire A1 × A2 × ... × Ak. Un exemple est l'anneau Z/nZ des entiers modulo n.
Decomposition of a moduleIn abstract algebra, a decomposition of a module is a way to write a module as a direct sum of modules. A type of a decomposition is often used to define or characterize modules: for example, a semisimple module is a module that has a decomposition into simple modules. Given a ring, the types of decomposition of modules over the ring can also be used to define or characterize the ring: a ring is semisimple if and only if every module over it is a semisimple module.
Socle (mathematics)In mathematics, the term socle has several related meanings. In the context of group theory, the socle of a group G, denoted soc(G), is the subgroup generated by the minimal normal subgroups of G. It can happen that a group has no minimal non-trivial normal subgroup (that is, every non-trivial normal subgroup properly contains another such subgroup) and in that case the socle is defined to be the subgroup generated by the identity. The socle is a direct product of minimal normal subgroups.
QuotientEn mathématiques, un quotient est le résultat d'une division. Le quotient existe ou pas selon l'ensemble de nombres considéré. Dans les entiers naturels, le quotient de par n'existe que si est un multiple de . On parle alors de quotient euclidien, puisqu'il résulte d'une division euclidienne. Le mot quotient s'emploie parfois pour fraction.
Essential extensionIn mathematics, specifically module theory, given a ring R and an R-module M with a submodule N, the module M is said to be an essential extension of N (or N is said to be an essential submodule or large submodule of M) if for every submodule H of M, implies that As a special case, an essential left ideal of R is a left ideal that is essential as a submodule of the left module RR. The left ideal has non-zero intersection with any non-zero left ideal of R. Analogously, an essential right ideal is exactly an essential submodule of the right R module RR.
Generating set of a moduleIn mathematics, a generating set Γ of a module M over a ring R is a subset of M such that the smallest submodule of M containing Γ is M itself (the smallest submodule containing a subset is the intersection of all submodules containing the set). The set Γ is then said to generate M. For example, the ring R is generated by the identity element 1 as a left R-module over itself. If there is a finite generating set, then a module is said to be finitely generated. This applies to ideals, which are the submodules of the ring itself.
Energy in CaliforniaEnergy in California is a major area of the economy of California. California is the state with the largest population and the largest economy in the United States. It is second in energy consumption after Texas. , per capita consumption was the fourth-lowest in the United States partially because of the mild climate and energy efficiency programs. Energy consumption in California is dominated by transportation, due to the high number of motor vehicles and long commutes.
Saison 2016 des Cardinals de Saint-LouisLa saison 2016 des Cardinals de Saint-Louis est la en Ligue majeure de baseball pour cette franchise et sa dans la Ligue nationale. Les Cardinals disputent dans l'après-midi du le premier match de leur saison et le premier match de la saison 2016 du baseball majeur lorsqu'ils visitent les Pirates au PNC Park de Pittsburgh. Saison 2015 des Cardinals de Saint-Louis Dans la division la plus compétitive du baseball majeur en 2015 et en dépit d'un nombre élevé de joueurs blessés, les Cardinals s'emparent seuls dès le , au de la saison régulière, du premier rang de la section Centrale de la Ligue nationale pour le conserver jusqu'à la fin.
Espace vectoriel quotientEn algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence définie de la manière suivante : v est en relation avec w si et seulement si v – w appartient à F. C'est donc l'ensemble des classes [v] = v + F, où v parcourt E, muni des lois suivantes : somme vectorielle : [v] + [w] = [v + w] ; multiplication par un scalaire : λ [v] = [λ v].
