Fonction à valeurs vectoriellesEn mathématiques, une fonction à valeurs vectorielles ou fonction vectorielle est une fonction dont l'espace d'arrivée est un ensemble de vecteurs, son ensemble de définition pouvant être un ensemble de scalaires ou de vecteurs. Courbe paramétrée Un exemple classique de fonctions vectorielles est celui des courbes paramétrées, c'est-à-dire des fonctions d'une variable réelle (représentant par exemple le temps dans les applications en mécanique du point) à valeurs dans un espace euclidien, par exemple le plan usuel (on parle alors de courbes planes) ou l'espace usuel (on parle alors de courbes gauches).
F-divergenceIn probability theory, an -divergence is a function that measures the difference between two probability distributions and . Many common divergences, such as KL-divergence, Hellinger distance, and total variation distance, are special cases of -divergence. These divergences were introduced by Alfréd Rényi in the same paper where he introduced the well-known Rényi entropy. He proved that these divergences decrease in Markov processes.
Théorème de Helmholtz-HodgeEn mathématiques et en physique, dans le domaine de l’analyse vectorielle, le théorème de Helmholtz-Hodge, également appelé théorème fondamental du calcul vectoriel, assure qu'un champ vectoriel se décompose en une composante « longitudinale » (irrotationnelle) et une composante « transverse » (solénoïdale), soit la somme du gradient d’un champ scalaire et du rotationnel d’un champ vectoriel. Ce résultat possède des applications importantes en électromagnétisme et en mécanique des fluides ; il est également exploité en sismologie.
Divergence (statistiques)En statistiques, une divergence est une fonction ou une fonctionnelle qui mesure la dissimilarité d'une loi de probabilité par rapport à une autre. Selon le contexte, elles peuvent être définies pour des lois, des mesures positives (non-normalisées), des vecteurs (par exemple sur l'espace des paramètres si l'on considère un modèle paramétrique), ou encore des matrices. Les divergences sont analogues à des distances au carré et permettent de généraliser la notion de distance aux variétés statistiques, mais il s'agit d'une notion plus faible dans la mesure où elles ne sont en général pas symétriques et ne vérifient pas l'inégalité triangulaire.
Rotation vectorielleSoit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe. Matrice de rotation Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle . Sa matrice dans une base orthonormée directe est : Autrement dit, un vecteur de composantes a pour image le vecteur de composantes que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle : c'est-à-dire que l'on a : et Si par exemple et , désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.
Espace vectorielvignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Rotation formalisms in three dimensionsIn geometry, various formalisms exist to express a rotation in three dimensions as a mathematical transformation. In physics, this concept is applied to classical mechanics where rotational (or angular) kinematics is the science of quantitative description of a purely rotational motion. The orientation of an object at a given instant is described with the same tools, as it is defined as an imaginary rotation from a reference placement in space, rather than an actually observed rotation from a previous placement in space.
Tangente (géométrie)Tangente vient du latin tangere, toucher : en géométrie, la tangente à une courbe en un de ses points est une droite qui « touche » la courbe au plus près au voisinage de ce point. La courbe et sa tangente forment alors un angle nul en ce point. La notion de tangente permet d'effectuer des approximations : pour la résolution de certains problèmes qui demandent de connaître le comportement de la courbe au voisinage d'un point, on peut assimiler celle-ci à sa tangente. Ceci explique la parenté entre la notion de tangente et le calcul différentiel.
Plane of rotationIn geometry, a plane of rotation is an abstract object used to describe or visualize rotations in space. The main use for planes of rotation is in describing more complex rotations in four-dimensional space and higher dimensions, where they can be used to break down the rotations into simpler parts. This can be done using geometric algebra, with the planes of rotations associated with simple bivectors in the algebra.
Circular motionIn physics, circular motion is a movement of an object along the circumference of a circle or rotation along a circular path. It can be uniform, with a constant angular rate of rotation and constant speed, or non-uniform with a changing rate of rotation. The rotation around a fixed axis of a three-dimensional body involves the circular motion of its parts. The equations of motion describe the movement of the center of mass of a body. In circular motion, the distance between the body and a fixed point on the surface remains the same.
Théorème de la divergenceEn analyse vectorielle, le théorème de la divergence (également appelé théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de flux-divergence), affirme l'égalité entre l'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume dans et le flux de ce champ à travers la frontière du volume (qui est une intégrale de surface). L'égalité est la suivante : où : est le volume ; est la frontière de est le vecteur normal à la surface, dirigé vers l'extérieur et de norme égale à l'élément de surface qu'il représente est continûment dérivable en tout point de ; est l'opérateur nabla ; (valable uniquement en coordonnées cartésiennes).
Divergence de Kullback-LeiblerEn théorie des probabilités et en théorie de l'information, la divergence de Kullback-Leibler (ou divergence K-L ou encore entropie relative) est une mesure de dissimilarité entre deux distributions de probabilités. Elle doit son nom à Solomon Kullback et Richard Leibler, deux cryptanalystes américains. Selon la NSA, c'est durant les années 1950, alors qu'ils travaillaient pour cette agence, que Kullback et Leibler ont inventé cette mesure. Elle aurait d'ailleurs servi à la NSA dans son effort de cryptanalyse pour le projet Venona.
