Objet initial et objet finalEn mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet initial et un objet final sont des objets qui permettent de définir une propriété universelle. Donnons-nous une catégorie . Un objet de est dit initial si pour tout objet de , il existe une et une seule flèche de vers . De même, un objet est dit final (ou terminal) si pour tout objet , il existe une et une seule flèche de vers . En particulier, la seule flèche d'un objet initial (ou final) vers lui-même est l'identité.
Espace de FréchetUn espace de Fréchet est une structure mathématique d'espace vectoriel topologique satisfaisant certains théorèmes relatifs aux espaces de Banach même en l'absence d'une norme. Cette dénomination fait référence à Maurice Fréchet, mathématicien français ayant participé notamment à la fondation de la topologie et à ses applications en analyse fonctionnelle. C'est dans ce dernier domaine que la structure des espaces de Fréchet se révèle particulièrement utile, notamment en fournissant une topologie naturelle aux espaces de fonctions infiniment dérivables et aux espaces de distributions.
Catégorie de foncteursUne catégorie de foncteurs ou catégorie des foncteurs entre deux catégories est une catégorie dont les objets sont les foncteurs entre ces catégories, et les morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Soient et des catégories. On définit la catégorie de foncteurs de dans , notée , ou parfois ou : Les objets de sont les foncteurs de dans ; Les morphismes sont les transformations naturelles. Il existe, pour tout objet F, un morphisme correspondant à l'identité incarné par le foncteur .
Morphisme zéroDans la théorie des catégories, une branche des mathématiques, un morphisme zéro est un type spécial de morphisme présentant certaines propriétés comme celles des morphismes vers et depuis un objet zéro . Supposons que C soit une catégorie, et f : X → Y un morphisme de la catégorie C. Le morphisme f est appelé morphisme constant (ou encore morphisme zéro à gauche) si pour tout objet W de la catégorie C et tout morphisme de cette catégorie , on a fg = fh.
Espace graduéEn mathématiques, un espace gradué est un espace vectoriel ou plus généralement un groupe abélien muni d'une décomposition en somme directe de sous-espaces, indexée par un ensemble d'entiers (naturels ou relatifs) ou par un groupe cyclique. Une graduation est la donnée d'une telle décomposition. Une graduation facilite souvent les calculs, notamment en algèbre homologique, en ne travaillant qu'avec des éléments homogènes en chaque degré, ce qui permet par exemple de se ramener dans bien des cas à des espaces de dimension finie.
Action de groupe (mathématiques)En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe. Étant donné un ensemble E et un groupe G, dont la loi est notée multiplicativement et dont l'élément neutre est noté e, une action (ou opération) de G sur E est une application : vérifiant chacune des 2 propriétés suivantes : On dit également que G opère (ou agit) sur l'ensemble E.
LF-spaceIn mathematics, an LF-space, also written (LF)-space, is a topological vector space (TVS) X that is a locally convex inductive limit of a countable inductive system of Fréchet spaces. This means that X is a direct limit of a direct system in the category of locally convex topological vector spaces and each is a Fréchet space. The name LF stands for Limit of Fréchet spaces. If each of the bonding maps is an embedding of TVSs then the LF-space is called a strict LF-space.
Dimension d'un espace vectorielvignette|espace à zéro dimension. En algèbre linéaire, la dimension de Hamel ou simplement la dimension est un invariant associé à tout espace vectoriel E sur un corps K. La dimension de E est le cardinal commun à toutes ses bases. Ce nombre est noté dimK(E) (lire « dimension de E sur K ») ou dim(E) (s'il n'y a aucune confusion sur le corps K des scalaires). Si E admet une partie génératrice finie, alors sa dimension est finie et elle vaut le nombre de vecteurs constituant une base de E.
Mathematical objectA mathematical object is an abstract concept arising in mathematics. In the usual language of mathematics, an object is anything that has been (or could be) formally defined, and with which one may do deductive reasoning and mathematical proofs. Typically, a mathematical object can be a value that can be assigned to a variable, and therefore can be involved in formulas. Commonly encountered mathematical objects include numbers, sets, functions, expressions, geometric objects, transformations of other mathematical objects, and spaces.
Espace vectoriel ordonnéEn mathématiques, un espace vectoriel ordonné (ou espace vectoriel partiellement ordonné) est un espace vectoriel sur muni d'une relation d'ordre compatible avec sa structure. Il est dit totalement ordonné si l'ordre associé est un ordre total. Soit E un espace vectoriel sur le corps des réels et un préordre sur .
Morphisme platEn géométrie algébrique, un morphisme de schémas peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille. Un morphisme est dit plat en un point x de X si l'homomorphisme d'anneaux induit par f est plat. On dit que f est un morphisme plat s'il est plat en tout point de X. On dit que f est fidèlement plat s'il est de plus surjectif. Si est un faisceau quasi-cohérent sur X.
Espace pointéEn topologie, un espace pointé est un espace topologique dont on spécifie un point particulier comme étant le point de base. Formellement, il s'agit donc d'un couple (E, x) pour lequel x est un élément de E. Une application pointée entre deux espaces pointés est une application continue préservant les points de base. Les espaces pointés sont les objets d'une catégorie, notée parfois Top, dont les morphismes sont les applications pointées. Cette catégorie admet le point comme objet nul.
