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Introduction à la théorie de groupe: Motivation

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Description

Cette séance de cours présente le concept d'adjonctions dans le contexte de la Théorie de Groupe, avec des exemples illustrant les transformations naturelles et les identités triangulaires. La séance de cours explore également les implications des adjonctions dans des cas précis, fournissant des informations sur les isomorphismes et les applications naturelles.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (30)

Transformation naturelle

En théorie des catégories, une transformation naturelle permet de transformer un foncteur en un autre tout en respectant la structure interne (c'est-à-dire la composition des morphismes) des catégories considérées. On peut ainsi la voir comme un morphisme de foncteurs. Soient et deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de dans .

Isomorphisme

En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ». Par exemple, sur l'intervalle des valeurs ... peuvent être remplacées par leur logarithme ..., et les relations d'ordre entre elles seront conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs et en prenant les exponentielles de et .

Théorie des groupes

vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.

Foncteur adjoint

L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».

Tensor-hom adjunction

In mathematics, the tensor-hom adjunction is that the tensor product and hom-functor form an adjoint pair: This is made more precise below. The order of terms in the phrase "tensor-hom adjunction" reflects their relationship: tensor is the left adjoint, while hom is the right adjoint. Say R and S are (possibly noncommutative) rings, and consider the right module categories (an analogous statement holds for left modules): Fix an -bimodule and define functors and as follows: Then is left adjoint to .

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Équivalences des catégories

Explore des exemples de transformations naturelles, d'équivalence des catégories et d'adjonction avec des cas spécifiques impliquant Un.

Alpha réciproquement inversé et bêta

Explore les adjonctions et réciproques alpha et bêta dans la théorie des catégories.

Objets simples et cosimpliciels : exemples et applications

Couvre les objets simpliciaux et cosimpliciaux en théorie des catégories avec des exemples pratiques.

Isomorphisme dans Aut(p)

Explore l'isomorphisme entre Aut(p) et un Galois couvrant à travers des notes de cours de topologie.

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Transformation naturelle

Isomorphisme

Théorie des groupes

Foncteur adjoint

Tensor-hom adjunction

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