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Séance de cours

Dérivabilité et applications linéaires

Dans cours

MATH-105(a): Analyse avancée II - analyse vectorielle

Etudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles de plusieurs variables. ...

Description

Cette séance de cours couvre le concept de dérivéabilité, y compris les conditions pour qu'une fonction soit différentiable, les directions de croissance maximale et minimale, et les règles pour les calculs dérivés des forces. Il explore également les applications linéaires et l'identification des applications linéaires à l'aide de matrices.

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Enseignant·e·s (2)

Boris Buffoni

Fabio Nobile

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Concepts associés (6)

Matrices de Pauli

Les matrices de Pauli, développées par Wolfgang Pauli, forment, au facteur i près, une base de l'algèbre de Lie du groupe SU(2). Elles sont définies comme l'ensemble de matrices complexes de dimensions suivantes : (où i est l’unité imaginaire des nombres complexes). Ces matrices sont utilisées en mécanique quantique pour représenter le spin des particules, notamment dès 1927 dans l'étude non-relativiste du spin de l'électron : l'équation de Pauli.

Matrice de Dirac

Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d'une équation d'onde relativiste de l'électron. Le pendant relativiste de l'équation de Schrödinger est l'équation de Klein-Gordon. Celle-ci décrit des particules de spin 0 et ne convient pas pour les électrons qui sont de spin 1/2. Dirac essaya alors de trouver une équation linéaire comme celle de Schrödinger sous la forme : où est une fonction d'onde vectorielle, la masse de la particule, l'hamiltonien, sont respectivement un vecteur de matrices hermitiques et une matrice hermitique, et i désigne l'unité imaginaire.

Algèbre linéaire

vignette|R3 est un espace vectoriel de dimension 3. Droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d'équations linéaires. L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.

Application linéaire

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires. L’expression peut s’utiliser aussi pour un morphisme entre deux modules sur un anneau, avec une présentation semblable en dehors des notions de base et de dimension. Cette notion étend celle de fonction linéaire en analyse réelle à des espaces vectoriels plus généraux.

Higher-dimensional gamma matrices

In mathematical physics, higher-dimensional gamma matrices generalize to arbitrary dimension the four-dimensional Gamma matrices of Dirac, which are a mainstay of relativistic quantum mechanics. They are utilized in relativistically invariant wave equations for fermions (such as spinors) in arbitrary space-time dimensions, notably in string theory and supergravity. The Weyl–Brauer matrices provide an explicit construction of higher-dimensional gamma matrices for Weyl spinors.

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Séances de cours associées (29)

Algèbre linéaire: changement de matrice de base

Explore le changement des matrices de base en algèbre linéaire, en soulignant l'importance de comprendre les transformations matricielles entre différentes bases.

Applications linéaires et matrices MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 2)

Déplacez-vous dans la bijection entre les applications linéaires et les matrices, explorant la linéarité, l'injectivité, la surjectivité et les conséquences de cette relation.

Algèbre linéaire en 3D : Déterminants et inverses

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Représentations matricielles : 3x3 rang

Explore le concept de rang dans les représentations matricielles 3x3 et comment il détermine la structure des matrices.

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