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Séance de cours

Matrices symétriques : Diagonalizabilité et vecteurs propres

Description

Cette séance de cours couvre les propriétés des matrices symétriques, en se concentrant sur le théorème indiquant qu'une matrice est symétrique si et seulement si elle est diagonalizable sur une base orthonormale. Le théorème spectral des matrices symétriques est également discuté, soulignant que ces matrices ont des valeurs propres réelles, peuvent ne pas être distinctes, et peuvent être diagonalisées sur une base orthonormale avec des eigenvectors orthogonaux.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.

Base orthonormée

En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

Matrice diagonalisable

En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Le fait qu'une matrice soit diagonalisable dépend du corps dans lequel sont cherchées les valeurs propres, ce que confirme la caractérisation par le fait que le polynôme minimal soit scindé à racines simples.

Matrice antisymétrique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est une matrice carrée opposée à sa transposée. Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée, c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : A = –A ou encore, en l'écrivant avec des coefficients sous la forme A = (ai,j), si : pour tout i et j, aj,i = –ai,j Les matrices suivantes sont antisymétriques : Le cas où la matrice est à coefficients dans un anneau de caractéristique 2 est très particulier.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la matrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres. Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée A à N lignes et N colonnes si et seulement si il existe un scalaire λ tel que : où λ est appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée « équation aux valeurs propres ».

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Séances de cours associées (29)

Calcul de valeurs propres

Couvre le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres, en mettant l'accent sur leur importance et leurs applications.

Récapitulation du théorème spectral

Revisite le théorème spectral pour les matrices symétriques, mettant l'accent sur les propriétés orthogonales diagonales et son équivalence avec les formes symétriques bilinéaires.

Matrices symétriques et matrices orthogonales MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 3)

Couvre les propriétés des matrices symétriques, des matrices orthogonales et des valeurs propres.

Théorème du taux de convergence: Partie 1

Se penche sur la preuve du théorème du taux de convergence pour une chaîne de Markov ergodique, en mettant laccent sur les valeurs propres et les propriétés déquilibre détaillées.

Analyse de corrélation canonique: Vue d'ensemble

Couvre l'analyse canonique de corrélation, une méthode pour trouver des relations entre deux ensembles de variables.

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Concepts associés (32)

Valeur propre, vecteur propre et espace propre

Base orthonormée

Matrice diagonalisable

Matrice antisymétrique

Décomposition d'une matrice en éléments propres

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