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Séance de cours

Identités triangulaires

Description

Cette séance de cours introduit le concept d'identités triangulaires dans le contexte de la théorie de groupe et de la théorie de catégorie, en mettant l'accent sur les transformations naturelles et les diagrammes commutatifs. L'instructeur explique les première et deuxième identités triangulaires, illustrant comment elles se rapportent aux transformations et aux adjonctions. La séance de cours porte également sur la notation des conjoints de gauche et de droite, soulignant l'importance de comprendre les relations entre les différents éléments dans le contexte des adjonctions.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Théorie des catégories

La théorie des catégories est l'étude des structures mathématiques et de leurs relations. Ce domaine est né du constat de l'abondance de caractéristiques partagées par diverses classes liées à des structures mathématiques. Les catégories sont utilisées dans la plupart des branches mathématiques et dans certains secteurs de l'informatique théorique et en mathématiques de la physique. Elles forment une notion unificatrice.

Monade (théorie des catégories)

Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les .

Diagramme commutatif

En mathématiques, et plus spécialement dans les applications de la théorie des catégories, un diagramme commutatif est un diagramme d'objets et de morphismes tels que, si l'on suit à travers le diagramme un chemin d'un objet à un autre, le résultat par composition des morphismes ne dépend que de l'objet de départ et de l'objet d'arrivée. Cette définition peut être visualisée par le dessin élémentaire ci-contre. On se place dans la catégorie Ens. Les objets sont les ensembles A, B et C en réalité tous égaux ici à {1,2,3,4}.

Category (mathematics)

In mathematics, a category (sometimes called an abstract category to distinguish it from a ) is a collection of "objects" that are linked by "arrows". A category has two basic properties: the ability to compose the arrows associatively and the existence of an identity arrow for each object. A simple example is the , whose objects are sets and whose arrows are functions. is a branch of mathematics that seeks to generalize all of mathematics in terms of categories, independent of what their objects and arrows represent.

Section (théorie des catégories)

vignette|Ici, g est une section de f, et f est une rétraction de g. Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes , tel que (le morphisme identité de Y, souvent réalisé par l'application identité sur Y), on dit que g est une section de f, et que f est une rétraction de g. En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).

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Séances de cours associées (34)

Transformations naturelles en théorie de groupe

Introduit des transformations naturelles dans la théorie de groupe et la théorie de catégorie, en mettant l'accent sur leur définition et leur signification.

Objets simples et cosimpliciels : exemples et applications

Couvre les objets simpliciaux et cosimpliciaux en théorie des catégories avec des exemples pratiques.

Transformations naturelles : Adjonctions et identités triangulaires

Explore les adjonctions, les identités triangulaires et les transformations naturelles dans la théorie des catégories.

Généralisation de l'équivalence de catégorie

Introduit une généralisation importante de l'équivalence des catégories et de ses implications pour la théorie des groupes.

Les poussoirs dans la théorie des groupes : Universal Properties Explained

Couvre la construction et les propriétés universelles des poussoirs en théorie des groupes.

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Concepts associés (32)

Théorie des catégories

Monade (théorie des catégories)

Diagramme commutatif

Category (mathematics)

Section (théorie des catégories)

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