Séance de cours

Bases : Combinaisons linéaires et espaces de fonctions

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Description

Cette séance de cours introduit le concept de bases dans les espaces vectoriels, en mettant l'accent sur les combinaisons linéaires et leur représentation unique. Il explore différents types de bases, telles que les bases orthogonales et orthonormales, et leur signification dans les transformations spatiales vectorielles. La séance de cours couvre également l'expansion de base, le changement de base à l'aide de vecteurs orthonormaux, et fournit des exemples de transformations de base à l'aide de matrices de rotation.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Analyse (mathématiques): Analyse fonctionnelle (mathématiques)

Concepts associés (32)

Base orthonormée

En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.

Orthogonal basis

In mathematics, particularly linear algebra, an orthogonal basis for an inner product space is a basis for whose vectors are mutually orthogonal. If the vectors of an orthogonal basis are normalized, the resulting basis is an orthonormal basis. Any orthogonal basis can be used to define a system of orthogonal coordinates Orthogonal (not necessarily orthonormal) bases are important due to their appearance from curvilinear orthogonal coordinates in Euclidean spaces, as well as in Riemannian and pseudo-Riemannian manifolds.

Base (algèbre linéaire)

vignette|Le même vecteur peut être représenté dans deux bases différentes (flèches violettes et rouges). En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V. alt=|vignette|upright=2|. La géométrie plane, celle d'Euclide, peut comporter une approche algébrique, celle de Descartes.

Standard basis

In mathematics, the standard basis (also called natural basis or canonical basis) of a coordinate vector space (such as or ) is the set of vectors, each of whose components are all zero, except one that equals 1. For example, in the case of the Euclidean plane formed by the pairs (x, y) of real numbers, the standard basis is formed by the vectors Similarly, the standard basis for the three-dimensional space is formed by vectors Here the vector ex points in the x direction, the vector ey points in the y direction, and the vector ez points in the z direction.

Orthogonal transformation

In linear algebra, an orthogonal transformation is a linear transformation T : V → V on a real inner product space V, that preserves the inner product. That is, for each pair u, v of elements of V, we have Since the lengths of vectors and the angles between them are defined through the inner product, orthogonal transformations preserve lengths of vectors and angles between them. In particular, orthogonal transformations map orthonormal bases to orthonormal bases. Orthogonal transformations are injective: if then , hence , so the kernel of is trivial.

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Séances de cours associées (64)

Bases orthogonales dans les espaces vectoriels

Couvre les bases orthogonales, la méthode Gram-Schmidt, l'indépendance linéaire et les matrices orthonormées dans les espaces vectoriels.

Théorèmes de projection orthogonale

Couvre les théorèmes liés à la projection orthogonale et aux bases orthonormales.

Calcul vectorielle en 3D

Couvre le concept d'espace vectoriel 3D, produit scalaire, bases, orthogonalité et projections.

Orthogonalité et bases orthogonales

Explique les bases orthogonales, les angles entre vecteurs et l'unicité des coefficients.

Complément orthogonal et projection

Couvre le concept de complément orthogonal et de projection dans les espaces vectoriels.

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Concepts associés (32)

Base orthonormée

Orthogonal basis

Base (algèbre linéaire)

Standard basis

Orthogonal transformation

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