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Séance de cours

Analyse avancée II

Description

Cette séance de cours couvre des sujets avancés en analyse, y compris des exemples d'ensembles en R2, le concept de volume, le théorème de Fubini pour les intégrales itérées, et la preuve des théorèmes. Il traite également des partitions des ensembles, de la mesurabilité de la Jordanie, et de l'intégration de Riemann. La séance de cours se termine par des exemples illustrant l'application des concepts discutés.

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Concepts associés (28)

Family of sets

In set theory and related branches of mathematics, a collection of subsets of a given set is called a family of subsets of , or a family of sets over More generally, a collection of any sets whatsoever is called a family of sets, set family, or a set system. A family of sets may be defined as a function from a set , known as the index set, to , in which case the sets of the family are indexed by members of .

Mesure de Jordan

En mathématiques, la mesure de Peano-Jordan est une extension de la notion de taille (longueur, aire, volume), aisément définie pour des domaines simples tels que le rectangle ou le parallélépipède, à des formes plus compliquées. La mesure de Jordan s'avère trop restrictive pour certains ensembles qu'on pourrait souhaiter être mesurables. Pour cette raison, il est maintenant plus fréquent de travailler avec la mesure de Lebesgue, qui est une extension de la mesure de Jordan à une plus grande classe d'ensembles.

Ensembles disjoints

vignette|Trois ensembles disjoints En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, et sont deux ensembles disjoints. De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si (Dans le cas contraire, on dit que A et B « se rencontrent ».) Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Théorème de Fubini

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Ce résultat a été introduit par Guido Fubini en 1907. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres.

Mesure de Lebesgue

La mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue. Plusieurs constructions bien différentes de la mesure de Lebesgue sont connues. Chacune d'entre elles peut naturellement être prise pour définition ; dans le cadre d'un article où il faut toutes les évoquer, il est prudent de fournir en ouverture une définition plus unificatrice.

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Fonctions: Définitions et notations

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