Groupe de permutationsEn théorie des groupes (mathématiques), un groupe de permutations d'un ensemble X est par définition un sous-groupe du groupe symétrique SX. On parle d'un groupe de permutations de X ou, s'il n'est pas nécessaire de préciser l'ensemble X, d'un groupe de permutations. Pour un ensemble X, nous désignerons ici par SX et nous appellerons groupe symétrique de X l'ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe ∘ définie par f ∘ g : X → X, x ↦ f(g(x)). Cette définition convient à l'étude des actions à gauche d'un groupe sur un ensemble.
Ensemble flouLa théorie des sous-ensembles flous est une théorie mathématique du domaine de l’algèbre abstraite. Elle a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets et sert de fondement à la logique floue. Les sous-ensembles flous (ou parties floues) ont été introduits afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation.
Théorie des ensembles approximatifsThéorie des ensembles approximatifs – est un formalisme mathématique proposé en 1982 par le professeur Zdzisław Pawlak. Elle généralise la théorie des ensembles classique. Un ensemble approximatif (anglais : rough set) est un objet mathématique basé sur la logique 3 états. Dans sa première définition, un ensemble approximatif est une paire de deux ensembles : une approximation inférieure et une approximation supérieure. Il existe également un type d'ensembles approximatifs défini par une paire d'ensembles flous (anglais : fuzzy set).
Représentation de groupeEn mathématiques, une représentation de groupe décrit un groupe en le faisant agir sur un espace vectoriel de manière linéaire. Autrement dit, on essaie de voir le groupe comme un groupe de matrices, d'où le terme représentation. On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de l'espace vectoriel, arriver à déduire quelques propriétés du groupe. C'est l'un des concepts importants de la théorie des représentations.
Signature d'une permutationEn mathématiques, une permutation de support fini est dite paire si elle présente un nombre pair d'inversions, impaire sinon. La signature d'une permutation vaut 1 si celle-ci est paire, –1 si elle est impaire. L'application signature, du groupe symétrique dans le groupe ({–1, 1}, ×), est un morphisme, c'est-à-dire qu'elle vérifie une propriété analogue à la règle des signes. Toute permutation se décompose en un produit de transpositions.
SurjectionEn mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l' est égal à l'ensemble d'arrivée. Il est possible d'appliquer l'adjectif « surjectif » à une fonction (voire à une correspondance) dont le domaine de définition n'est pas tout l'ensemble de départ, mais en général le terme « surjection » est réservé aux applications (qui sont définies sur tout leur ensemble de départ), auxquelles nous nous limiterons dans cet article (pour plus de détails, voir le paragraphe « Fonction et application » de l'article « Application »).
Rotation (physique)En cinématique, l'étude des corps en rotation est une branche fondamentale de la physique du solide et particulièrement de la dynamique, y compris de la dynamique des fluides, qui complète celle du mouvement de translation. L'analyse du mouvement de rotation se prolonge y compris aux échelles atomiques, avec la dynamique moléculaire et l'étude de la fonction d'onde en mécanique quantique.
Fonction partiellevignette|Exemple d'une fonction partielle En mathématiques, une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné E est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de la fonction partielle.
Associativité des puissancesEn algèbre, l'associativité des puissances est une forme affaiblie de l'associativité. Un magma est dit associatif des puissances si le sous-magma engendré par n'importe quel élément est associatif. Concrètement, cela signifie que si une opération est effectuée plusieurs fois sur un même élément , l'ordre dans lequel sont effectuées ces opérations n'a pas d'importance ; ainsi, par exemple, . Tout magma associatif est évidemment associatif des puissances.
Symétrie de rotationEn physique, la symétrie de rotation, ou invariance par rotation, est la propriété d'une théorie, ou d'un système physique de ne pas être modifié soit par une rotation spatiale quelconque, ou alors par seulement certaines d'entre elles. Lorsque le système est invariant par n'importe quelle rotation d'espace, on parle d'isotropie (du Grec isos (ἴσος, "égal, identique") et tropos (τρόπος, "tour, direction"). Dans ce cas toutes les directions de l'espace sont équivalentes.
Permutation circulaireEn mathématiques, une permutation circulaire ou cycle est un cas particulier de permutation. Une permutation circulaire agit comme un décalage circulaire pour un certain nombre d'éléments, et laisse tous les autres inchangés. Les permutations circulaires permettent d'illustrer le fonctionnement général des permutations, puisqu'une permutation quelconque se décompose en un produit de cycles fonctionnant de manière indépendante. Soit un entier k ≥ 2. Une permutation est un k-cycle, ou permutation circulaire de longueur k, s'il existe des éléments a1, .
AssociativitéEn mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne ou loi interne sur un ensemble E est dite associative si pour tous x, y et z dans E : En notant , l'associativité se traduit par le diagramme commutatif suivant : Parmi les lois associatives, on peut citer les lois d'addition et de multiplication des nombres réels, des nombres complexes et des matrices carrées, l'addition des vecteurs, et l'intersection, la réunion d'ensembles.
Rotation vectorielleSoit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe. Matrice de rotation Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle . Sa matrice dans une base orthonormée directe est : Autrement dit, un vecteur de composantes a pour image le vecteur de composantes que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle : c'est-à-dire que l'on a : et Si par exemple et , désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.
Rotation en quatre dimensionsEn mathématiques, les rotations en quatre dimensions (souvent appelées simplement rotations 4D) sont des transformations de l'espace euclidien , généralisant la notion de rotation ordinaire dans l'espace usuel ; on les définit comme des isométries directes ayant un point fixe (qu'on peut prendre comme origine, identifiant les rotations aux rotations vectorielles) ; le groupe de ces rotations est noté SO(4) : il est en effet isomorphe au groupe spécial orthogonal d'ordre 4.
BijectionEn mathématiques, une bijection ou application bijective (parfois appelée correspondances biunivoques) est une application qui est à la fois injective et surjective, autrement dit pour laquelle tout élément de son ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent. Une propriété des bijections est que s'il existe une bijection f d'un ensemble E dans un ensemble F alors il existe une bijection réciproque de F dans E qui à chaque élément de F associe son antécédent par f. Les deux ensembles sont dits en bijection, ou équipotents.
Non-associative algebraA non-associative algebra (or distributive algebra) is an algebra over a field where the binary multiplication operation is not assumed to be associative. That is, an algebraic structure A is a non-associative algebra over a field K if it is a vector space over K and is equipped with a K-bilinear binary multiplication operation A × A → A which may or may not be associative. Examples include Lie algebras, Jordan algebras, the octonions, and three-dimensional Euclidean space equipped with the cross product operation.
Plane of rotationIn geometry, a plane of rotation is an abstract object used to describe or visualize rotations in space. The main use for planes of rotation is in describing more complex rotations in four-dimensional space and higher dimensions, where they can be used to break down the rotations into simpler parts. This can be done using geometric algebra, with the planes of rotations associated with simple bivectors in the algebra.
3D rotation groupIn mechanics and geometry, the 3D rotation group, often denoted SO(3), is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a transformation that preserves the origin, Euclidean distance (so it is an isometry), and orientation (i.e., handedness of space). Composing two rotations results in another rotation, every rotation has a unique inverse rotation, and the identity map satisfies the definition of a rotation.
Injection (mathématiques)Une application f est dite injective ou est une injection si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f, ce qui revient à dire que deux éléments distincts de son ensemble de départ ne peuvent pas avoir la même par f. Lorsque les ensembles de départ et d'arrivée de f sont tous les deux égaux à la droite réelle R, f est injective si et seulement si son graphe intersecte toute droite horizontale en au plus un point. Si une application injective est aussi surjective, elle est dite bijective.
Bijection réciproqueEn mathématiques, la bijection réciproque (ou fonction réciproque ou réciproque) d'une bijection est l'application qui associe à chaque élément de l'ensemble d'arrivée son unique antécédent par . Elle se note . On considère l'application de vers définie par . Pour chaque réel y, il y a un et un seul réel x tel que , ainsi pour = 8, le seul convenable est 2, en revanche, pour = –27 c'est –3. En termes mathématiques, on dit que est l'unique antécédent de et que est une bijection.
