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Applications linéaires : matrices et transformations

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Dans cours

MATH-111(c): Algèbre linéaire

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications. ...

Description

Cette séance de cours présente des applications linéaires, en se concentrant sur les matrices et les transformations. Il couvre des sujets tels que la base canonique de l'IRN, les transformations linéaires et le principe de superposition. L'instructeur explique le concept de transformations linéaires à l'aide d'exemples et discute de la matrice associée à ces transformations.

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Algèbre: Algèbre linéaire

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Algèbre linéaire

vignette|R3 est un espace vectoriel de dimension 3. Droites et plans qui passent par l'origine sont des sous-espaces vectoriels. L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d'équations linéaires. L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perse Al-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant.

Indépendance linéaire

En algèbre linéaire, étant donné une famille de vecteurs d'un même espace vectoriel, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs qui soit égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Cela revient à dire qu'aucun des vecteurs de la famille n'est combinaison linéaire des autres. Dans le cas où des vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, on dit qu'ils sont linéairement dépendants, ou qu'ils forment une famille liée.

Application linéaire

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire, et préserve ainsi plus généralement les combinaisons linéaires. L’expression peut s’utiliser aussi pour un morphisme entre deux modules sur un anneau, avec une présentation semblable en dehors des notions de base et de dimension. Cette notion étend celle de fonction linéaire en analyse réelle à des espaces vectoriels plus généraux.

Base canonique

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, certains espaces vectoriels possèdent une base qualifiée de canonique ; il s'agit d'une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de R, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. En revanche sur un espace vectoriel quelconque, la notion n'a pas de sens : il n'y a pas de choix de base privilégiée.

Produit matriciel

Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).

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