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Division Euclidienne: Exemples

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Description

Cette séance de cours couvre le concept de division euclidienne des polynômes, où le reste de la division d'un polynôme P(X) par (X - a) est la valeur de P(X) à X = a. Ce résultat est crucial pour la factorisation et la recherche des racines. Des exemples sont fournis pour illustrer l'utilisation de P a) et P b) pour déterminer le reste de la valeur R(X). La séance de cours explore également l'utilisation de P a) et P' (a) comme information pour trouver R(X) et discute du polynôme Taylor de R(X) autour de a. La difficulté de déterminer le reste lorsque le degré de P(X) est inconnu est mise en évidence, ainsi que la disvisibilité des polynômes basés sur les racines.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Analyse (mathématiques): Analyse numérique

Concepts associés (32)

Polynôme de Legendre

thumb|upright=1.5|Polynômes de Legendre En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales P(x), sur l'intervalle x ∈ [–1, 1], de l'équation différentielle de Legendre : dans le cas particulier où le paramètre n est un entier naturel. De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de R[X] défini par : pour les valeurs propres .

Polynôme d'Hermite

En mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810, surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités puis en détail par Pafnouti Tchebychev six ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.

Polynôme

thumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).

Factorisation des polynômes

En mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.

Polynôme de Tchebychev

En mathématiques, un polynôme de Tchebychev est un terme de l'une des deux suites de polynômes orthogonaux particulières reliées à la formule de Moivre. Les polynômes de Tchebychev sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev. Il existe deux suites de polynômes de Tchebychev, l'une nommée polynômes de Tchebychev de première espèce et notée T et l'autre nommée polynômes de Tchebychev de seconde espèce et notée U (dans les deux cas, l'entier naturel n correspond au degré).

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Racines et polynômes complexes

Explore les racines complexes, les polynômes et les factorisations, y compris les racines de l'unité et le théorème fondamental de l'algèbre.

Polynômes : Définition et opérations

Couvre les polynômes, leurs opérations, le théorème de division, et fournit des exemples illustratifs.

Équations polynomiales: Méthodes de résolution

Couvre diverses méthodes pour résoudre des équations polynomiales à travers des exemples.

Analyse 2: Division euclidienne

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Polynômes complexes et factorisation

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