Séance de cours

Euclid et Bézout: Algorithmes et Théorèmes

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Dans cours

COM-102: Advanced information, computation, communication II

Text, sound, and images are examples of information sources stored in our computers and/or communicated over the Internet. How do we measure, compress, and protect the informatin they contain? ...

Description

Cette séance de cours couvre l'algorithme euclidien, qui trouve efficacement le plus grand diviseur commun (gcd) de deux entiers, et l'identité de Bézout, fournissant l'inverse d'un élément en Z/mZ lorsque gcd(a,m) = 1. L'algorithme Euclid étendu est également expliqué, ainsi que des exemples et des preuves liés aux inverses gcd et multiplicatifs. Le concept de groupes commutatifs, y compris les axiomes et les propriétés, est introduit, soulignant l'importance de ces structures dans la cryptographie et le codage des canaux.

Enseignant·e·s (2)

Bixio Rimoldi

Enseignement et PhD A dirigé les thèses EPFL de Nicolae Chiurtu, Ninoslav Marina, Prasenjit Dey, Raja Manakkal, Peter Allan Berlin, Marius Kleiner, Vojislav Gajic, Saeid Haghighatshoar, Adrian Dan Tarniceriu A co-dirigé les thèses EPFL de Michael Gastpar, Tarik Tabet

Michael Christoph Gastpar

Michael Gastpar is a (full) Professor at EPFL. From 2003 to 2011, he was a professor at the University of California at Berkeley, earning his tenure in 2008. He received his Dipl. El.-Ing. degree from ETH Zürich, Switzerland, in 1997 and his MS degree from the University of Illinois at Urbana-Champaign, IL, USA, in 1999. He defended his doctoral thesis at EPFL on Santa Claus day, 2002. He was also a (full) Professor at Delft University of Technology, The Netherlands. His research interests are in network information theory and related coding and signal processing techniques, with applications to sensor networks and neuroscience. He is a Fellow of the IEEE. He is the co-recipient of the 2013 Communications Society & Information Theory Society Joint Paper Award. He was an Information Theory Society Distinguished Lecturer (2009-2011). He won an ERC Starting Grant in 2010, an Okawa Foundation Research Grant in 2008, an NSF CAREER award in 2004, and the 2002 EPFL Best Thesis Award. He has served as an Associate Editor for Shannon Theory for the IEEE Transactions on Information Theory (2008-11), and as Technical Program Committee Co-Chair for the 2010 International Symposium on Information Theory, Austin, TX.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre générale

Concepts associés (32)

Algorithme d'Euclide étendu

En mathématiques, l'algorithme d'Euclide étendu est une variante de l'algorithme d'Euclide. À partir de deux entiers a et b, il calcule non seulement leur plus grand commun diviseur (PGCD), mais aussi un de leurs couples de coefficients de Bézout, c'est-à-dire deux entiers u et v tels que au + bv = PGCD(a, b). Quand a et b sont premiers entre eux, u est alors l'inverse pour la multiplication de a modulo b (et v est de la même façon l'inverse modulaire de b, modulo a), ce qui est un cas particulièrement utile.

Plus grand commun diviseur

En arithmétique élémentaire, le plus grand commun diviseur ou PGCD de deux nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui les divise simultanément. Par exemple, le PGCD de 20 et de 30 est 10, puisque leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5 et 10. Cette notion s'étend aux entiers relatifs grâce aux propriétés de la division euclidienne. Elle se généralise aussi aux anneaux euclidiens comme l'anneau des polynômes sur un corps commutatif. La notion de PGCD peut être définie dans tout anneau commutatif.

Algorithme d'Euclide

En mathématiques, l'algorithme d'Euclide est un algorithme qui calcule le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers, c'est-à-dire le plus grand entier qui divise les deux entiers, en laissant un reste nul. L'algorithme ne requiert pas de connaître la factorisation de ces deux nombres. vignette|Peinture censée représenter le mathématicien Euclide d'Alexandrie, par Justus of Ghent. Selon Donald Knuth, l'algorithme d'Euclide est l'un des plus anciens algorithmes.

Théorème de Bachet-Bézout

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire : ax + by = pgcd(a, b) d'inconnues x et y entiers relatifs, où a et b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b. Le théorème de Bézout affirme que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si l'équation ax + by = 1 admet des solutions.

Polynomial greatest common divisor

In algebra, the greatest common divisor (frequently abbreviated as GCD) of two polynomials is a polynomial, of the highest possible degree, that is a factor of both the two original polynomials. This concept is analogous to the greatest common divisor of two integers. In the important case of univariate polynomials over a field the polynomial GCD may be computed, like for the integer GCD, by the Euclidean algorithm using long division. The polynomial GCD is defined only up to the multiplication by an invertible constant.

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Séances de cours associées (64)

Arithmétique Modulaire : Fondements et Applications

Présente l'arithmétique modulaire, ses propriétés et ses applications en cryptographie et en théorie du codage.

Théorie des nombres : fondements et applications de la cryptographie

Introduit la théorie des nombres et ses applications essentielles en cryptographie.

Algorithme euclidien

Explique l'algorithme euclidien des polynômes sur un champ K, illustrant son application avec des exemples.

Fonctions et entiers

Couvre les fonctions, les entiers, le GCD et le raisonnement par récurrence, y compris l'algorithme euclidien et le principe d'induction.

Méthodes polynomiales: Résumé du calcul GCD

Couvre le calcul du plus grand commun diviseur en utilisant des méthodes polynomiales et l'algorithme euclidien.

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Plus grand commun diviseur

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