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Séance de cours

Orthogonalité et inégalités

Description

Cette séance de cours couvre le concept de formes bilinéaires symétriques définissant le positif, le théorème de Pythagore, l'inégalité de Cauchy-Schwarz et le processus de Gram-Schmidt. Il explore également les bases orthogonales, les matrices orthogonales et la décomposition des matrices. L'instructeur démontre l'importance de l'orthogonalité dans divers contextes mathématiques.

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Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Groupe orthogonal

En mathématiques, le groupe orthogonal réel de degré n, noté O(n), est le groupe des transformations géométriques d'un espace Euclidien de dimension n qui préservent les distances (isométries) et le point origine de l'espace. Formellement, on introduit le groupe orthogonal d'une forme quadratique q sur E, espace vectoriel sur un corps commutatif K, comme le sous-groupe du groupe linéaire GL(E) constitué des automorphismes f de E qui laissent q invariante : pour tout vecteur x de E.

Décomposition QR

En algèbre linéaire, la décomposition QR (appelée aussi, factorisation QR ou décomposition QU) d'une matrice A est une décomposition de la forme où Q est une matrice orthogonale (QQ=I), et R une matrice triangulaire supérieure. Ce type de décomposition est souvent utilisé pour le calcul de solutions de systèmes linéaires non carrés, notamment pour déterminer la pseudo-inverse d'une matrice. En effet, les systèmes linéaires AX = Y peuvent alors s'écrire : QRX = Y ou RX = QY.

Forme bilinéaire

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est une application qui à un couple de vecteurs associe un scalaire, et qui a la particularité d'être linéaire en ses deux arguments. Autrement dit, étant donné un espace vectoriel V sur un corps commutatif K, il s'agit d'une application f : V × V → K telle que, pour tous et tous , Les formes bilinéaires sont naturellement introduites pour les produits scalaires.

Matrice orthogonale

Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si A A = I, où A est la matrice transposée de A et I est la matrice identité. Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ ou les matrices de permutation, comme Une matrice réelle A est orthogonale si et seulement si elle est inversible et son inverse est égale à sa transposée : A = A. Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si ses vecteurs colonnes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1.

Décomposition LU

En algèbre linéaire, la décomposition LU est une méthode de décomposition d'une matrice comme produit d'une matrice triangulaire inférieure (comme lower, inférieure en anglais) par une matrice triangulaire supérieure (comme upper, supérieure). Cette décomposition est utilisée en analyse numérique pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Soit une matrice carrée. On dit que admet une décomposition LU s'il existe une matrice triangulaire inférieure formée de 1 sur la diagonale, notée , et une matrice triangulaire supérieure, notée , qui vérifient l'égalité Il n'est pas toujours vrai qu'une matrice admette une décomposition LU.

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Séances de cours associées (36)

Récapitulation du théorème spectral

Revisite le théorème spectral pour les matrices symétriques, mettant l'accent sur les propriétés orthogonales diagonales et son équivalence avec les formes symétriques bilinéaires.

Bases et polynômes orthogonaux/orthonormaux

Explore les bases orthogonales et orthonormées, le processus de Gram-Schmidt et les polynômes orthogonaux en physique.

Formes différentielles sur les collecteurs

Introduit des formes différentielles sur les collecteurs, couvrant les faisceaux tangents et les appariements d'intersection.

Formes harmoniques : théorème principal

Explore les formes harmoniques sur les surfaces de Riemann et l'unicité des solutions aux équations harmoniques.

Weingarten Application de surfaces régulières

Couvre l'application de la carte Weingarten sur les surfaces régulières et l'opérateur de forme.

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Concepts associés (32)