FactorisationEn mathématiques, la factorisation consiste à écrire une expression algébrique (notamment une somme), un nombre, une matrice sous la forme d'un produit. Cette transformation peut se faire suivant différentes techniques détaillées ci-dessous. Les enjeux de la factorisation sont très divers : à un niveau élémentaire, le but peut être de ramener la résolution d'une équation à celle d'une équation produit-nul, ou la simplification d'une écriture fractionnaire ; à un niveau intermédiaire, la difficulté algorithmique présumée de la factorisation des nombres entiers en produit de facteurs premiers est à la base de la fiabilité du cryptosystème RSA.
Polynômethumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).
Factorisation aurifeuillienneEn théorie des nombres, une factorisation aurifeuillienne, nommée d'après Léon-François-Antoine Aurifeuille, est un cas particulier de factorisation algébrique d'entiers provenant d'une factorisation (accidentelle) d'un polynôme cyclotomique. Les polynômes cyclotomiques eux-mêmes sont irréductibles (dans ), mais il peut néanmoins arriver qu'on dispose de factorisations systématiques de leurs valeurs sur certains entiers.
Polynôme de LaguerreEn mathématiques, les polynômes de Laguerre, nommés d'après Edmond Laguerre, sont les solutions normalisées de l'équation de Laguerre : qui est une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 et se réécrit sous la forme de Sturm-Liouville : Cette équation a des solutions non singulières seulement si n est un entier positif. Les solutions L forment une suite de polynômes orthogonaux dans L (R, edx), et la normalisation se fait en leur imposant d'être de norme 1, donc de former une famille orthonormale.
Suite de polynômes orthogonauxEn mathématiques, une suite de polynômes orthogonaux est une suite infinie de polynômes p0(x), p1(x), p2(x) ... à coefficients réels, dans laquelle chaque pn(x) est de degré n, et telle que les polynômes de la suite sont orthogonaux deux à deux pour un produit scalaire de fonctions donné. Cette notion est utilisée par exemple en cryptologie ou en analyse numérique. Elle permet de résoudre de nombreux problèmes de physique, comme en mécanique des fluides ou en traitement du signal.
Triangle équilatéralEn géométrie euclidienne, un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Ses trois angles internes ont alors la même mesure de 60 degrés, et il constitue ainsi un polygone régulier à trois sommets. Tous les triangles équilatéraux sont semblables. Chaque triangle équilatéral est invariant par trois symétries axiales et deux rotations dont le centre est à la fois le centre de gravité, l'orthocentre et le centre des cercles inscrit et circonscrit au triangle.
Système d'équations algébriquesEn mathématiques, un système d'équations algébriques est un ensemble d'équations polynomiales f1 = 0..., fh = 0 où les fi sont des polynômes de plusieurs variables (ou indéterminées), x1..., xn, à coefficients pris dans un corps ou un anneau k. Une « solution » est un ensemble de valeurs à substituer aux indéterminées annulant toutes les équations du système. Généralement les solutions peuvent être cherchées dans une extension du corps k comme la clôture algébrique de ce corps (ou la clôture algébrique du corps des fractions de k celui-ci est un anneau).
Méthode de factorisation de Fermatvignette|Pierre de Fermat En arithmétique modulaire, la méthode de factorisation de Fermat est un algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier naturel. L'intuition est la suivante. Tout entier naturel impair N se décompose en la différence de deux carrés : N = a – b. Algébriquement, cette différence se factorise en (a + b)(a – b) et, si ni a + b ni a – b n'est égal à 1, alors ce sont des facteurs non triviaux de N. Il existe une telle représentation pour tout nombre impair composé.
Équation polynomialeEn mathématiques, une équation polynomiale, ou équation algébrique, est une équation de la forme : où P est un polynôme. Voici un exemple d'équation simple avec une seule inconnue : Usuellement, le terme équation polynomiale désigne une équation avec une seule inconnue (notée ici x) : où l'entier naturel n et les , appelés coefficients de l’équation, sont connus. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils peuvent prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau.
Factorisation des polynômesEn mathématiques, la factorisation d'un polynôme consiste à écrire celui-ci comme produit de polynômes. Les factorisations intéressantes sont celles permettant d'écrire le polynôme initial en produit de plusieurs polynômes non inversibles. Un polynôme non inversible pour lequel aucune factorisation de ce type n'existe s'appelle un polynôme irréductible. La décomposition d'un polynôme en produits de polynômes irréductibles existe, et a une propriété d'unicité (à un facteur inversible près), pour tout polynôme à coefficients réels ou complexes.
Polynôme de TchebychevEn mathématiques, un polynôme de Tchebychev est un terme de l'une des deux suites de polynômes orthogonaux particulières reliées à la formule de Moivre. Les polynômes de Tchebychev sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien russe Pafnouti Lvovitch Tchebychev. Il existe deux suites de polynômes de Tchebychev, l'une nommée polynômes de Tchebychev de première espèce et notée T et l'autre nommée polynômes de Tchebychev de seconde espèce et notée U (dans les deux cas, l'entier naturel n correspond au degré).
Centre du triangleEn géométrie plane, la notion de centre du triangle est une notion qui généralise celle de centre d'un carré ou d'un cercle. Certains points remarquables du triangle, comme le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont connus depuis la Grèce antique et constructibles simplement. Chacun de ces centres classiques a la propriété d'être invariant (plus précisément équivariant) par similitudes.
Polynôme de Legendrethumb|upright=1.5|Polynômes de Legendre En mathématiques et en physique théorique, les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions polynomiales P(x), sur l'intervalle x ∈ [–1, 1], de l'équation différentielle de Legendre : dans le cas particulier où le paramètre n est un entier naturel. De façon équivalente, les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme de R[X] défini par : pour les valeurs propres .
Triangle de HéronIn geometry, a Heronian triangle (or Heron triangle) is a triangle whose side lengths a, b, and c and area A are all positive integers. Heronian triangles are named after Heron of Alexandria, based on their relation to Heron's formula which Heron demonstrated with the example triangle of sides 13, 14, 15 and area 84. Heron's formula implies that the Heronian triangles are exactly the positive integer solutions of the Diophantine equation that is, the side lengths and area of any Heronian triangle satisfy the equation, and any positive integer solution of the equation describes a Heronian triangle.
TriangleEn géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane formée par trois points (appelés sommets) et par les trois segments qui les relient (appelés côtés), délimitant un domaine du plan appelé intérieur. Lorsque les sommets sont distincts deux à deux, en chaque sommet les côtés délimitent un angle intérieur, d'où vient la dénomination de « triangle ». Le triangle est aussi le polygone le plus simple qui délimite une portion du plan et sert ainsi d'élément fondamental pour le découpage et l'approximation de surfaces.
Équation cubiquethumb|right|Une équation cubique admet au plus trois solutions réelles. En mathématiques, une équation cubique est une équation polynomiale de degré 3, de la forme ax + bx + cx + d = 0 avec a non nul, où les coefficients a, b, c et d sont en général supposés réels ou complexes. Les équations cubiques étaient connues des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens. On a trouvé des tablettes babyloniennes () avec, en écriture cunéiforme, des tables de calcul de cubes et de racines cubiques.
Polynôme d'HermiteEn mathématiques, les polynômes d'Hermite sont une suite de polynômes qui a été nommée ainsi en l'honneur de Charles Hermite (bien qu'ils aient été définis, sous une autre forme, en premier par Pierre-Simon Laplace en 1810, surtout été étudiés par Joseph-Louis Lagrange lors de ses travaux sur les probabilités puis en détail par Pafnouti Tchebychev six ans avant Hermite). Ils sont parfois décrits comme des polynômes osculateurs.
Integer triangleAn integer triangle or integral triangle is a triangle all of whose side lengths are integers. A rational triangle is one whose side lengths are rational numbers; any rational triangle can be rescaled by the lowest common denominator of the sides to obtain a similar integer triangle, so there is a close relationship between integer triangles and rational triangles. Sometimes other definitions of the term rational triangle are used: Carmichael (1914) and Dickson (1920) use the term to mean a Heronian triangle (a triangle with integral or rational side lengths and area);cite book |last=Carmichael |first=R.
Polynôme de BernoulliEn mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler. Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que : La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est Les nombres de Bernoulli sont donnés par .
Théorème fondamental de l'algèbreEn mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur C, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1.
