Anneau euclidienvignette|Statue d'Euclide à Oxford. En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif). Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne. Un anneau euclidien est toujours principal. Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique.
Algorithme d'EuclideEn mathématiques, l'algorithme d'Euclide est un algorithme qui calcule le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux entiers, c'est-à-dire le plus grand entier qui divise les deux entiers, en laissant un reste nul. L'algorithme ne requiert pas de connaître la factorisation de ces deux nombres. vignette|Peinture censée représenter le mathématicien Euclide d'Alexandrie, par Justus of Ghent. Selon Donald Knuth, l'algorithme d'Euclide est l'un des plus anciens algorithmes.
Polynôme formelEn algèbre, le terme de polynôme formel, ou simplement polynôme, est le nom générique donné aux éléments d'une structure construite à partir d'un ensemble de nombres. On considère un ensemble A de nombres, qui peut être celui des entiers ou des réels, et on lui adjoint un élément X, appelé indéterminée. La structure est constituée par les nombres, le polynôme X, les puissances de X multipliées par un nombre, aussi appelés monômes (de la forme aX), ainsi que les sommes de monômes. La structure est généralement notée A[X].
Théorème des restes chinoisEn mathématiques, le théorème des restes chinois est un résultat d'arithmétique modulaire traitant de résolution de systèmes de congruences. Ce résultat, initialement établi pour Z/nZ, se généralise en théorie des anneaux. Ce théorème est utilisé en théorie des nombres. vignette|Exemple de Sun Zi : il y a 23 objets. La forme originale du théorème apparait sous forme de problème dans le livre de Sun Zi, le , datant du . Il est repris par le mathématicien chinois Qin Jiushao dans son ouvrage le Shùshū Jiǔzhāng (« Traité mathématique en neuf chapitres ») publié en 1247.
Polynomial greatest common divisorIn algebra, the greatest common divisor (frequently abbreviated as GCD) of two polynomials is a polynomial, of the highest possible degree, that is a factor of both the two original polynomials. This concept is analogous to the greatest common divisor of two integers. In the important case of univariate polynomials over a field the polynomial GCD may be computed, like for the integer GCD, by the Euclidean algorithm using long division. The polynomial GCD is defined only up to the multiplication by an invertible constant.
Division euclidiennethumb|Écriture de la division euclidienne de 30 par 7, le quotient est 4 et le reste 2.En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne ou division entière est une procédure de calcul qui, à deux entiers naturels appelés dividende et diviseur, associe deux autres entiers appelés quotient (quotient euclidien s'il y a ambiguïté) et reste. Initialement définie pour deux entiers naturels non nuls, elle se généralise aux entiers relatifs.
Indicatrice d'Eulervignette|upright=1.5|Les mille premières valeurs de φ(n). En mathématiques, l'indicatrice d'Euler est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et premiers avec n. Elle intervient en mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres. En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en cryptologie.
Anneau principalvignette|Schéma heuristique des structures algébriques. Les anneaux principaux forment un type d'anneaux commutatifs important dans la théorie mathématique de la divisibilité (voir aussi l'article anneau principal non commutatif). Ce sont des anneaux intègres auxquels on peut étendre deux théorèmes qui, au sens strict, concernent l'anneau des entiers relatifs : le théorème de Bachet-Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique. Un anneau A est dit commutatif lorsque, pour tous éléments a et b de A, .
Anneau intègreUn anneau intègre ou anneau d'intégrité est un anneau commutatif unitaire différent de l'anneau nul et qui ne possède aucun diviseur de zéro. Un anneau commutatif unitaire est dit intègre s'il est différent de l'anneau nul (autrement dit : si 1 ≠ 0) et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire : En pratique, travailler dans un anneau intègre permet de résoudre des équations produit-nul.
Fonction totient de JordanEn théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un k + 1-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J. La fonction J est multiplicative et vaut où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.
Polynômethumb|Courbe représentative d'une fonction cubique. En mathématiques, un polynôme est une expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et d'indéterminées, habituellement notées X, Y, Z... Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de toute fonction dérivable (voir l'article Développement limité) et permettent de représenter des formes lisses (voir l'article Courbe de Bézier, décrivant un cas particulier de fonction polynomiale).
Indicatrice de Carmichaelvignette|upright=2|Fonction λ de Carmichael : λ(n) pour 1 ≤ n ≤ 1000 (avec les valeurs de la fonction φ d'Euler en comparaison) La fonction indicatrice de Carmichael, ou indicateur de Carmichael ou encore fonction de Carmichael, notée λ, est définie sur les entiers naturels strictement positifs ; elle associe à un entier n le plus petit entier m vérifiant, pour tout entier a premier avec n, am ≡ 1 mod n. Elle est introduite par Robert Daniel Carmichael dans un article de 1910.
Théorème d'Euler (arithmétique)vignette|Leonhard Euler (1753) En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, s'énonce ainsi : Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où n est un nombre premier. Il se démontre en remarquant que l'exposant λ(n) (appelé l'indicatrice de Carmichael de n) du groupe (Z/nZ) des inversibles de l'anneau Z/nZ est un diviseur de l'ordre φ(n) de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).
Élément entierEn mathématiques, et plus particulièrement en algèbre commutative, les éléments entiers sur un anneau commutatif sont à la fois une généralisation des entiers algébriques (les éléments entiers sur l'anneau des entiers relatifs) et des éléments algébriques dans une extension de corps. C'est une notion très utile en théorie algébrique des nombres et en géométrie algébrique. Son émergence a commencé par l'étude des entiers quadratiques, en particulier les entiers de Gauss. On fixe un anneau commutatif A.
Fonction arithmétiqueEn théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par N*. Les fonctions arithmétiques les plus étudiées sont les fonctions additives et les fonctions multiplicatives. Une opération importante sur les fonctions arithmétiques est le produit de convolution de Dirichlet.
Fonction multiplicativeEn arithmétique, une fonction multiplicative est une fonction arithmétique f : N* → C vérifiant les deux conditions suivantes : f(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0 premiers entre eux, on a : f (ab) = f(a)f(b). Une fonction complètement multiplicative est une fonction arithmétique g vérifiant : g(1) = 1 ; pour tous entiers a et b > 0, on a : g(ab) = g(a)g(b). Ces dénominations peuvent varier d'un ouvrage à un autre : fonction faiblement multiplicative pour fonction multiplicative, fonction multiplicative ou totalement multiplicative pour fonction complètement multiplicative.
Produit eulérienEn mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers. Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann. Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler. Euler cherche à évaluer la répartition des nombres premiers p = 2, p = 3, ....
Congruence relationIn abstract algebra, a congruence relation (or simply congruence) is an equivalence relation on an algebraic structure (such as a group, ring, or vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements. Every congruence relation has a corresponding quotient structure, whose elements are the equivalence classes (or congruence classes) for the relation. The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo on the set of integers.
Division d'un polynômeEn algèbre, l'anneau K[X] des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, comme celui des nombres rationnels, réels ou complexes, dispose d'une division euclidienne, qui ressemble formellement à celle des nombres entiers. Si A et B sont deux polynômes de K[X], avec B non nul, il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K[X] tel que : Ici l'expression deg S, si S désigne un polynôme, signifie le degré de S.
Principal ideal ringIn mathematics, a principal right (left) ideal ring is a ring R in which every right (left) ideal is of the form xR (Rx) for some element x of R. (The right and left ideals of this form, generated by one element, are called principal ideals.) When this is satisfied for both left and right ideals, such as the case when R is a commutative ring, R can be called a principal ideal ring, or simply principal ring. If only the finitely generated right ideals of R are principal, then R is called a right Bézout ring.
