Séance de cours

Racines carrées et irrationnalité

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Description

Cette séance de cours couvre le concept de racines carrées, en mettant l'accent sur des carrés égaux et l'irrationalité de la racine carrée de 2. Il explique la méthode contra positive pour prouver des déclarations sur même des carrés et démontre l'irrationalité de √2 à travers une preuve par contradiction. La présence de 'gaps' en nombres rationnels est illustrée par l'absence de √2 en Q. Des exemples de mineurs en Q sont fournis, ainsi que le concept de limites inférieures. La séance de cours se termine par l'introduction de l'ensemble B = {r € Q= r≥ 0, r2 ≥ 2}.

Source officielle

Concepts associés (32)

Nombre rationnel

Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. On peut ainsi écrire les nombres rationnels sous forme de fractions notées où , le numérateur, est un entier relatif et , le dénominateur, est un entier relatif non nul. Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer sous la forme . Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes sous forme de fraction, par exemple ...

Preuve de l'irrationalité de π

Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à prouver que le nombre est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction a/b, avec a et b entiers non nuls. Au , Charles Hermite établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'analyse élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par Mary Cartwright et Ivan Niven. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par Miklós Laczkovich.

Nombre irrationnel

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). Les nombres irrationnels peuvent être caractérisés de manière équivalente comme étant les nombres réels dont le développement décimal n'est pas périodique ou dont le développement en fraction continue est infini. On distingue, parmi les nombres irrationnels, deux sous-ensembles complémentaires : les nombres algébriques non rationnels et les nombres transcendants.

Racine carrée

En mathématiques élémentaires, la racine carrée d'un nombre réel positif x est l'unique réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne x, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x. Dans cette expression, x est appelé le radicande et le signe est appelé le radical. La fonction qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée s'appelle la fonction racine carrée. En algèbre et analyse, dans un anneau ou un corps A, on appelle racine carrée de a, tout élément de A dont le carré vaut a.

Proof by contradiction

In logic, proof by contradiction is a form of proof that establishes the truth or the validity of a proposition, by showing that assuming the proposition to be false leads to a contradiction. Although it is quite freely used in mathematical proofs, not every school of mathematical thought accepts this kind of nonconstructive proof as universally valid. More broadly, proof by contradiction is any form of argument that establishes a statement by arriving at a contradiction, even when the initial assumption is not the negation of the statement to be proved.

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Séances de cours associées (63)

Preuves : Contraposition vs. Contradiction

Couvre les concepts de contradiction et de contradiction dans les preuves.

Développement décimal

Plonge dans des nombres décimaux infinis, explorant la convergence et la divergence, et présentant des exemples de nombres rationnels et irrationnels.

Introduction à l'analyse

Couvre les bases de l'analyse, y compris les preuves, les ensembles, les nombres rationnels et réels, et le concept d'infimum.

Les nombres réels : valeur absolue et densité

Couvre la valeur absolue, la densité des rationnels et la topologie de ligne réelle.

Propriétés des nombres réels: Bounds, Densité, Valeur Absolue

Couvre les propriétés des nombres réels, y compris les limites, la densité et la valeur absolue.

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Nombre rationnel

Preuve de l'irrationalité de π

Nombre irrationnel

Racine carrée

Proof by contradiction

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