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Espaces vectoriaux: Bases

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Description

Cette séance de cours introduit le concept d'espaces vectoriels, couvrant des espaces familiers comme R2 et RN, ainsi que des espaces moins communs comme l2(Z) et L2([a, b]). La définition opérationnelle d'un espace vectoriel est discutée, ainsi que les propriétés formelles comme la commutativité et la multiplication scalaire. Des exemples dans RN illustrent l'addition vectorielle et la multiplication scalaire. La séance de cours se décline également en produits intérieurs, les définissant comme une mesure de similitude entre les vecteurs et discutant de propriétés comme l'orthogonalité. Le produit intérieur dans L2([-1, 1]) est exploré, ainsi que les normes, les distances et les calculs moyens d'erreur carrée.

Source officielle

Proximité ontologique

Mathématiques

Algèbre: Algèbre linéaire

Concepts associés (32)

Produit matriciel

Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ». Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles. En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).

Multiplication par un scalaire

vignette|320x320px|Exemple de multiplication d'un vecteur par un scalaire En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale). Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ.

Matrix multiplication algorithm

Because matrix multiplication is such a central operation in many numerical algorithms, much work has been invested in making matrix multiplication algorithms efficient. Applications of matrix multiplication in computational problems are found in many fields including scientific computing and pattern recognition and in seemingly unrelated problems such as counting the paths through a graph. Many different algorithms have been designed for multiplying matrices on different types of hardware, including parallel and distributed systems, where the computational work is spread over multiple processors (perhaps over a network).

Scalaire (mathématiques)

En algèbre linéaire, les nombres réels qui multiplient les vecteurs dans un espace vectoriel sont appelés des scalaires. Cette multiplication par un scalaire, qui permet de multiplier un vecteur par un nombre pour produire un vecteur, correspond à la loi externe de l'espace vectoriel. Plus généralement, dans un K-espace vectoriel, les scalaires sont les éléments de K, où K peut être l'ensemble des nombres complexes ou n'importe quel autre corps.

Vector multiplication

In mathematics, vector multiplication may refer to one of several operations between two (or more) vectors. It may concern any of the following articles: Dot product – also known as the "scalar product", a binary operation that takes two vectors and returns a scalar quantity. The dot product of two vectors can be defined as the product of the magnitudes of the two vectors and the cosine of the angle between the two vectors. Alternatively, it is defined as the product of the projection of the first vector onto the second vector and the magnitude of the second vector.

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Séances de cours associées (64)

Espaces vectoriels: propriétés et exemples

Explore les espaces vectoriels, en se concentrant sur les propriétés, les exemples et les sous-espaces dans un exercice pratique sur les polynômes.

Espaces vectoriaux : propriétés et opérations

Couvre les propriétés et les opérations des espaces vectoriels, y compris l'addition et la multiplication scalaire.

Espaces vectoriels: propriétés et exemples

Couvre la définition et les propriétés des espaces vectoriels, ainsi que des exemples tels que les espaces euclidien et les espaces matriciels.

Applications linéaires des espaces vectoriaux MOOC: Algèbre Linéaire (Partie 2)

Couvre les applications linéaires entre les espaces vectoriels, explorant leurs propriétés et unicité basées sur des bases.

Algèbre linéaire : concepts abstraits

Introduit des concepts abstraits en algèbre linéaire, en se concentrant sur les opérations avec des vecteurs et des matrices.

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Multiplication par un scalaire

Matrix multiplication algorithm

Scalaire (mathématiques)

Vector multiplication

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