Borne supérieure et borne inférieureEn mathématiques, les notions de borne supérieure et borne inférieure d'un ensemble de nombres réels interviennent en analyse, comme cas particulier de la définition générale suivante : la borne supérieure (ou le supremum) d'une partie d'un ensemble (partiellement) ordonné est le plus petit de ses majorants. Une telle borne n'existe pas toujours, mais si elle existe alors elle est unique. Elle n'appartient pas nécessairement à la partie considérée. Dualement, la borne inférieure (ou l'infimum) d'une partie est le plus grand de ses minorants.
Majorant ou minorantEn mathématiques, soient (E , ≤) un ensemble ordonné et F une partie de E ; un élément x de E est : un majorant de F s'il est supérieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F : ; un minorant de F s'il est inférieur ou égal, par la relation binaire définie au préalable, à tous les éléments de F :. Si F possède un majorant x alors on dit que F est une partie majorée. Si F possède un minorant x alors on dit que F est une partie minorée.
Nombre réelEn mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
Essential infimum and essential supremumIn mathematics, the concepts of essential infimum and essential supremum are related to the notions of infimum and supremum, but adapted to measure theory and functional analysis, where one often deals with statements that are not valid for all elements in a set, but rather almost everywhere, that is, except on a set of measure zero. While the exact definition is not immediately straightforward, intuitively the essential supremum of a function is the smallest value that is greater than or equal to the function values everywhere while ignoring what the function does at a set of points of measure zero.
Limite supérieure et limite inférieurevignette|upright=1.8|Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite (x) est représentée en bleu. En mathématiques, plus précisément en analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.
Definable real numberInformally, a definable real number is a real number that can be uniquely specified by its description. The description may be expressed as a construction or as a formula of a formal language. For example, the positive square root of 2, , can be defined as the unique positive solution to the equation , and it can be constructed with a compass and straightedge. Different choices of a formal language or its interpretation give rise to different notions of definability.
Construction des nombres réelsEn mathématiques, il existe différentes constructions des nombres réels, dont les deux plus connues sont : les coupures de Dedekind, qui définissent, via la théorie des ensembles, un réel comme l'ensemble des rationnels qui lui sont strictement inférieurs ; les suites de Cauchy, qui définissent, via l'analyse, un réel comme une suite de rationnels convergeant vers lui. C'est à partir des années 1860 que la nécessité de présenter une construction des nombres réels se fait de plus en plus pressante, dans le but d'asseoir l'analyse sur des fondements rigoureux.
Riesz spaceIn mathematics, a Riesz space, lattice-ordered vector space or vector lattice is a partially ordered vector space where the order structure is a lattice. Riesz spaces are named after Frigyes Riesz who first defined them in his 1928 paper Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires. Riesz spaces have wide-ranging applications. They are important in measure theory, in that important results are special cases of results for Riesz spaces. For example, the Radon–Nikodym theorem follows as a special case of the Freudenthal spectral theorem.
Droite réelle achevéeEn mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], R ∪ {–∞, +∞} ou (notation toutefois ambiguë, car la barre signifie généralement "complémentaire" en théorie des ensembles, ou "adhérence" en topologie). Cet ensemble est très utile en analyse, notamment pour généraliser les formules et théorèmes sur les limites sans avoir à effectuer une disjonction des cas, et dans certaines théories de l'intégration.
Propriété de la borne supérieureEn mathématiques, un ensemble ordonné est dit posséder la propriété de la borne supérieure si tous ses sous-ensembles non vides et majorés possèdent une borne supérieure. De même, un ensemble ordonné possède la propriété de la borne inférieure si tous ses sous-ensembles non vides et minorés possèdent une borne inférieure. Il s'avère que ces deux propriétés sont équivalentes. On dit aussi parfois qu'un ensemble possédant la propriété de la borne supérieure est Dedekind complet. Soit un ensemble ordonné (partiellement ou totalement).
Ensemblevignette|Ensemble de polygones dans un diagramme d'Euler En mathématiques, un ensemble désigne intuitivement un rassemblement d’objets distincts (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme une totalité » pour paraphraser Georg Cantor qui est à l'origine de la théorie des ensembles. Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble).
Nombre ordinalvignette|Spirale représentant les nombres ordinaux inférieurs à ωω. En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, tout comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession.
Ensemble finiEn mathématiques, un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire qu'il est possible de compter ses éléments, le résultat étant un nombre entier. Un ensemble infini est un ensemble qui n'est pas fini. Ainsi l'ensemble des chiffres usuels (en base dix) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} qui possède 10 éléments, est fini. De même l'ensemble des lettres de l'alphabet qui possède 26 éléments. L'ensemble de tous les nombres entiers naturels {0, 1, 2, 3,..., 10,..., 100,...
Ensemble dénombrableEn mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Certains ensembles infinis, au contraire, contiennent « trop » d'éléments pour être parcourus complètement par l'infinité des entiers et sont donc dits « non dénombrables ». Il existe deux usages du mot « dénombrable » en mathématiques, suivant que l'on comprend ou non parmi les ensembles dénombrables les ensembles finis, dont les éléments peuvent être numérotés par les entiers positifs inférieurs à une valeur donnée.
Join and meetIn mathematics, specifically order theory, the join of a subset of a partially ordered set is the supremum (least upper bound) of denoted and similarly, the meet of is the infimum (greatest lower bound), denoted In general, the join and meet of a subset of a partially ordered set need not exist. Join and meet are dual to one another with respect to order inversion. A partially ordered set in which all pairs have a join is a join-semilattice. Dually, a partially ordered set in which all pairs have a meet is a meet-semilattice.
Uniform normIn mathematical analysis, the uniform norm (or ) assigns to real- or complex-valued bounded functions f defined on a set S the non-negative number This norm is also called the , the , the , or, when the supremum is in fact the maximum, the . The name "uniform norm" derives from the fact that a sequence of functions \left{f_n\right} converges to f under the metric derived from the uniform norm if and only if f_n converges to f uniformly.
Analyse réelleL'analyse réelle est la branche de l'analyse qui étudie les ensembles de réels et les fonctions de variables réelles. Elle étudie des concepts comme les suites et leurs limites, la continuité, la dérivation, l'intégration et les suites de fonctions. La présentation de l'analyse réelle dans les ouvrages avancés commence habituellement avec des démonstrations simples de résultats de la théorie naïve des ensembles, une définition claire de la notion de fonction, une introduction aux entiers naturels et la démonstration importante du raisonnement par récurrence.
NombreUn nombre est un concept permettant d’évaluer et de comparer des quantités ou des rapports de grandeurs, mais aussi d’ordonner des éléments en indiquant leur rang. Souvent écrits à l’aide d’un ou plusieurs chiffres, les nombres interagissent par le biais d’opérations qui sont résumées par des règles de calcul. Les propriétés de ces relations entre les nombres sont l’objet d’étude de l’arithmétique, qui se prolonge avec la théorie des nombres.
Entier naturelEn mathématiques, un entier naturel est un nombre permettant fondamentalement de compter des objets considérés comme des unités équivalentes : un jeton, deux jetons... une carte, deux cartes, trois cartes... Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule). L’étude des entiers naturels est l’objet de l’arithmétique, branche des mathématiques, constituée dès l'Antiquité grecque.
Inégalité de ChernoffEn théorie des probabilités, l'inégalité de Chernoff permet de majorer la queue d'une loi de probabilité, c'est-à-dire qu'elle donne une valeur maximale de la probabilité qu'une variable aléatoire dépasse une valeur fixée. On parle également de borne de Chernoff. Elle est nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Herman Chernoff. Elle est comparable à l'inégalité de Markov mais donne une borne exponentielle. Il existe de nombreux énoncés, et de nombreux cas particuliers.
